Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3822
2019-06-16 
Даны несколько различных натуральных чисел, заключенных между квадратами двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что все их попарные произведения также различны.
Решение:
Пусть $n^2 < a < b < c < d < (n + 1)^2, ad = bc$. Тогда $(a + d)^2- (d - a)^2 <(b + c)^2$ и $a + d > b + c$, откуда $(d - a)^2 > (a + d + b + c)(a + d - b - c) > 4n^2$, но $d - a < 2n$. Противоречие.
Даны несколько различных натуральных чисел, заключенных между квадратами двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что все их попарные произведения также различны.
Решение:
Пусть $n^2 < a < b < c < d < (n + 1)^2, ad = bc$. Тогда $(a + d)^2- (d - a)^2 <(b + c)^2$ и $a + d > b + c$, откуда $(d - a)^2 > (a + d + b + c)(a + d - b - c) > 4n^2$, но $d - a < 2n$. Противоречие.
