Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3821
2019-06-16 
Вершины тетраэдра $KLMN$ лежат внутри, на гранях или на ребрах другого тетраэдра $ABCD$. Докажите, что сумма длин всех ребер тетраэдра $KLMN$ меньше 4/3 суммы длин всех ребер тетраэдра $ABCD$.
Решение:
Пусть грань $KLM$ тетраэдра $KLMN$ имеет наибольший периметр. Пусть $A_1, B_1, C_1, D_1$ - проекции точек $A, B, C, D$ на плоскость $KLM$ и пусть $Г$ ломаная, ограничивающая проекцию тетраэдра $KLMN$ на эту плоскость. Пусть $P_{RSTQ}$ - сумма длин всех шести отрезков, попарно соединяющих точки $R, S, T$ и $Q$. Тогда 1) $P_{KLMN} \leq 2P_{KLM}$; 2) $P_{KLM} \leq P_Г$; 3) $P_Г \leq \frac{2}{3} P_{A_1B_1C_1D_1}$; 4) $P_{A_1B_1C_1D_1} \leq P_{ABCD}$.
Вершины тетраэдра $KLMN$ лежат внутри, на гранях или на ребрах другого тетраэдра $ABCD$. Докажите, что сумма длин всех ребер тетраэдра $KLMN$ меньше 4/3 суммы длин всех ребер тетраэдра $ABCD$.
Решение:
Пусть грань $KLM$ тетраэдра $KLMN$ имеет наибольший периметр. Пусть $A_1, B_1, C_1, D_1$ - проекции точек $A, B, C, D$ на плоскость $KLM$ и пусть $Г$ ломаная, ограничивающая проекцию тетраэдра $KLMN$ на эту плоскость. Пусть $P_{RSTQ}$ - сумма длин всех шести отрезков, попарно соединяющих точки $R, S, T$ и $Q$. Тогда 1) $P_{KLMN} \leq 2P_{KLM}$; 2) $P_{KLM} \leq P_Г$; 3) $P_Г \leq \frac{2}{3} P_{A_1B_1C_1D_1}$; 4) $P_{A_1B_1C_1D_1} \leq P_{ABCD}$.
