Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3818
2019-06-16 
Внутри тетраэдра выбрана точка $M$. Докажите, что хотя бы одно ребро тетраэдра видно из точки $M$ под углом, косинус которого не больше чем -1/3.
Решение:
Пусть $AM, BM, CM$ и $DM$ - отрезки длины 1, отложенные на лучах, соединяющих точку $M$ с вершинами тетраэдра. Прямая $DM$ пересекает треугольник $ABC$ в некоторой точке $P$. Если косинусы углов $AMD, BMD$ и $CMD$ больше -1/3, то эти углы меньше $\phi = \arccos \left ( \frac{-1}{3} \right )$, а углы $AMD, BMD$ и $CMD$ больше $\pi - \phi$. Можно считать, что $\angle APB \geq 120^{\circ}$. Тогда, записав теорему косинусов для треугольников $APB$ и $AMB$, получим, что $\cos \angle AMB < - \frac{1}{3}$.
Внутри тетраэдра выбрана точка $M$. Докажите, что хотя бы одно ребро тетраэдра видно из точки $M$ под углом, косинус которого не больше чем -1/3.
Решение:
Пусть $AM, BM, CM$ и $DM$ - отрезки длины 1, отложенные на лучах, соединяющих точку $M$ с вершинами тетраэдра. Прямая $DM$ пересекает треугольник $ABC$ в некоторой точке $P$. Если косинусы углов $AMD, BMD$ и $CMD$ больше -1/3, то эти углы меньше $\phi = \arccos \left ( \frac{-1}{3} \right )$, а углы $AMD, BMD$ и $CMD$ больше $\pi - \phi$. Можно считать, что $\angle APB \geq 120^{\circ}$. Тогда, записав теорему косинусов для треугольников $APB$ и $AMB$, получим, что $\cos \angle AMB < - \frac{1}{3}$.
