Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3817
2019-06-16 
На окружности отмечено $3k$ точек, разделяющих ее на $3k$ дуг, из которых $k$ дуг имеют длину 1, еще $k$ дуг - длину 2 и остальные $k$ дуг - длину 3. Докажите, что среди отмеченных точек найдутся две диаметрально противоположные.
Решение:
Предположим, что утверждение не верно. Покрасим концы дуг черной краской. Разделим всю окружность на дуги длины 1 и новые точки деления покрасим в красный цвет. Возьмем теперь какую-нибудь дугу $AC$ длины 2 с черными концами и красной серединой $B^{ \prime}$. Диаметрально противоположная ей точка $B$ черная. Пусть на дуге $AB$ длины $3k - 1$ $n_1$ дуг длины 1, $n_2$ дуг длины 2 и $n_3$ дуг длины 3. На дуге $BC$ будет $n_1$ дуг длины 3 (точки, диаметрально противоположные концам дуги единичной длины, красные!) Поэтому $n_3 = k - n_1$, что противоречит равенству $3k - 1 = n_1 + 2n_2 + 3n_3$.
На окружности отмечено $3k$ точек, разделяющих ее на $3k$ дуг, из которых $k$ дуг имеют длину 1, еще $k$ дуг - длину 2 и остальные $k$ дуг - длину 3. Докажите, что среди отмеченных точек найдутся две диаметрально противоположные.
Решение:
Предположим, что утверждение не верно. Покрасим концы дуг черной краской. Разделим всю окружность на дуги длины 1 и новые точки деления покрасим в красный цвет. Возьмем теперь какую-нибудь дугу $AC$ длины 2 с черными концами и красной серединой $B^{ \prime}$. Диаметрально противоположная ей точка $B$ черная. Пусть на дуге $AB$ длины $3k - 1$ $n_1$ дуг длины 1, $n_2$ дуг длины 2 и $n_3$ дуг длины 3. На дуге $BC$ будет $n_1$ дуг длины 3 (точки, диаметрально противоположные концам дуги единичной длины, красные!) Поэтому $n_3 = k - n_1$, что противоречит равенству $3k - 1 = n_1 + 2n_2 + 3n_3$.
