Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3816
2019-06-16 
а) Пусть $m$ и $n$ - натуральные числа. Докажите, что если для некоторых неотрицательных целых чисел $k_1, k_2, \cdots, k_n$ число $2^{k_1} + 2^{k_2} + \cdots + 2^{k_n}$ делится на $2^m - 1$, то $n \geq m$.
б) Существует ли натуральное число, делящееся на $\underbrace{111 \cdots 1}_{m} $ и имеющее сумму цифр, меньшую чем $m$?
Решение:
а) Из всех чисел вида $2^{k_1} + 2^{k_2} + \cdots + 2^{k_n}$ делящихся на $2^m - 1$, выберем числа с наименьшим $n$, а из полученных чисел выберем число с наименьшим $k_1 + k_2 + \cdots + k_n$. Все числа в наборе $(k_1, k_2, \cdots, k_n)$ различны. Если $n < m$, то $k_i \leq m - 1$ и $2^{k_1} + 2^{k_2} + \cdots + 2^{k_n} < 2^m - 1$ и $2^{k_1} + 2^{k_2} + \cdots + 2^{k_n} < 2^m - 1$. Противоречие.
б) He существует. Пусть $P = a_1 10^r + \cdots + a_r$ - наименьшее из чисел, делящихся на $M = \underbrace{11 \cdots 1}_{m}$ и имеющих сумму цифр, меньшую $m$. Тогда $r \geq m$ и число $P_1 = P - (10^r - 10^{r-m})$, делящееся на $М$, меньше $Р$ и имеет сумму цифр, не превосходящую сумму цифр числа $P$.
а) Пусть $m$ и $n$ - натуральные числа. Докажите, что если для некоторых неотрицательных целых чисел $k_1, k_2, \cdots, k_n$ число $2^{k_1} + 2^{k_2} + \cdots + 2^{k_n}$ делится на $2^m - 1$, то $n \geq m$.
б) Существует ли натуральное число, делящееся на $\underbrace{111 \cdots 1}_{m} $ и имеющее сумму цифр, меньшую чем $m$?
Решение:
а) Из всех чисел вида $2^{k_1} + 2^{k_2} + \cdots + 2^{k_n}$ делящихся на $2^m - 1$, выберем числа с наименьшим $n$, а из полученных чисел выберем число с наименьшим $k_1 + k_2 + \cdots + k_n$. Все числа в наборе $(k_1, k_2, \cdots, k_n)$ различны. Если $n < m$, то $k_i \leq m - 1$ и $2^{k_1} + 2^{k_2} + \cdots + 2^{k_n} < 2^m - 1$ и $2^{k_1} + 2^{k_2} + \cdots + 2^{k_n} < 2^m - 1$. Противоречие.
б) He существует. Пусть $P = a_1 10^r + \cdots + a_r$ - наименьшее из чисел, делящихся на $M = \underbrace{11 \cdots 1}_{m}$ и имеющих сумму цифр, меньшую $m$. Тогда $r \geq m$ и число $P_1 = P - (10^r - 10^{r-m})$, делящееся на $М$, меньше $Р$ и имеет сумму цифр, не превосходящую сумму цифр числа $P$.
