Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3814
2019-06-16 
Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы окрасить в белый и черный цвета так, чтобы белых и черных клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более 3/4 клеток одного цвета?
Решение:
Назовем строку таблицы $m \times n$ белой, если в ней преобладают белые клетки, и черной - в противном случае. Пусть $p$ и $q$ - количества белых и черных строк, $r$ и $s$ - количества белых и черных столбцов $(p + q = m, r + s = n)$. Можно считать, что $p \leq q$. Пусть в каждом ряду (строке и столбце) менее четверти клеток «чужого» цвета. Тогда $ps + qr$ не больше общего числа клеток «чужого» цвета во всех строках и столбцах, т. е. меньше $\frac{mn}{4} + \frac{mn}{4} = \frac{mn}{2}$, поэтому $r \leq s$, а общее число белых клеток меньше
$pr + \frac{qn}{4} + \frac{sm}{4} = \frac{mn}{2} + pr - \frac{np}{4} - \frac{mr}{4} = \frac{mn}{2} - \frac{p}{2} \left ( \frac{n}{2} - r \right ) - \frac{r}{2} \left ( \frac{m}{2} - p \right ) \leq \frac{mn}{2}$.
Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы окрасить в белый и черный цвета так, чтобы белых и черных клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более 3/4 клеток одного цвета?
Решение:
Назовем строку таблицы $m \times n$ белой, если в ней преобладают белые клетки, и черной - в противном случае. Пусть $p$ и $q$ - количества белых и черных строк, $r$ и $s$ - количества белых и черных столбцов $(p + q = m, r + s = n)$. Можно считать, что $p \leq q$. Пусть в каждом ряду (строке и столбце) менее четверти клеток «чужого» цвета. Тогда $ps + qr$ не больше общего числа клеток «чужого» цвета во всех строках и столбцах, т. е. меньше $\frac{mn}{4} + \frac{mn}{4} = \frac{mn}{2}$, поэтому $r \leq s$, а общее число белых клеток меньше
$pr + \frac{qn}{4} + \frac{sm}{4} = \frac{mn}{2} + pr - \frac{np}{4} - \frac{mr}{4} = \frac{mn}{2} - \frac{p}{2} \left ( \frac{n}{2} - r \right ) - \frac{r}{2} \left ( \frac{m}{2} - p \right ) \leq \frac{mn}{2}$.
