Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3802
2019-06-16 
Выпуклый четырехугольник $ABCD$ разрезан своими диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что если радиусы всех четырех окружностей, вписанных в эти треугольники, равны между собой, то четырехугольник $ABCD$ - ромб.
Решение:
Предположим, что диагонали четырехугольника $ABCD$, пересекающиеся в точке $O$, не перпендикулярны друг другу например, что угол $AOB$ острый. Построим точки $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$, симметричные $A$ и $B$ относительно точки $O$. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $A^{ \prime}OB$ и $B^{ \prime}OC$, меньше радиуса $r$ окружности, вписанной в $\triangle AOB$ (площади всех этих треугольников равны, а периметр $\triangle AOB$ меньше), поэтому касательные, проведенные из точек $A$ и $B$ к окружностям радиуса $r$, вписанные в углы $BOC$ и $AOD$, пересекают лучи $OA^{ \prime}$ и $OB^{ \prime}$ в точках $C$ и $D$, расположенных дальше от $O$, чем $A^{ \prime}$ к $B^{ \prime}$ соответственно, так что отрезок $CD$ не может коснуться окружности радиуса $r$, вписанной в $\triangle OA^{ \prime}B^{ \prime}$.
Таким образом, в условиях задачи прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны друг другу и, с учетом равенства радиусов вписанных окружностей, служат осями симметрии четырехугольника $ABCD$. Следовательно, этот четырехугольник - ромб.
Выпуклый четырехугольник $ABCD$ разрезан своими диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что если радиусы всех четырех окружностей, вписанных в эти треугольники, равны между собой, то четырехугольник $ABCD$ - ромб.
Решение:
Предположим, что диагонали четырехугольника $ABCD$, пересекающиеся в точке $O$, не перпендикулярны друг другу например, что угол $AOB$ острый. Построим точки $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$, симметричные $A$ и $B$ относительно точки $O$. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $A^{ \prime}OB$ и $B^{ \prime}OC$, меньше радиуса $r$ окружности, вписанной в $\triangle AOB$ (площади всех этих треугольников равны, а периметр $\triangle AOB$ меньше), поэтому касательные, проведенные из точек $A$ и $B$ к окружностям радиуса $r$, вписанные в углы $BOC$ и $AOD$, пересекают лучи $OA^{ \prime}$ и $OB^{ \prime}$ в точках $C$ и $D$, расположенных дальше от $O$, чем $A^{ \prime}$ к $B^{ \prime}$ соответственно, так что отрезок $CD$ не может коснуться окружности радиуса $r$, вписанной в $\triangle OA^{ \prime}B^{ \prime}$.
Таким образом, в условиях задачи прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны друг другу и, с учетом равенства радиусов вписанных окружностей, служат осями симметрии четырехугольника $ABCD$. Следовательно, этот четырехугольник - ромб.
