Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3800
2019-06-16 
Через точку $О$ в пространстве проведено 1979 прямых $l_1, l_2, \cdots, l_{1979}$, никакие две из которых не взаимно перпендикулярны. На прямой $l_1$ взята произвольная точка $A_1$, отличная от 0. Докажите, что можно выбрать точки $A_i$ на $l_i, i = 2, 3, \cdots, 1979$, таким образом, чтобы следующие 1979 пар прямых были взаимно перпендикулярными:
$A_1A_3 \perp l_2, A_2A_4 \perp l_3, \cdots, A_{i-1}A_{i+1} \perp l_i, \cdots, A_{1977}A_{1979} \perp l_{1978}, A_{1978}A_1 \perp l_{1979}, A_{1979}A_2 \perp l_1$.
Решение:
Пусть $e_i$ - единичный вектор, направленный по прямой $l_i$. Положим $e_ie_{i+1} = c_i (i = 1, 2, \cdots, 1978)$, $e_{1979}e_1 = c_{1979}$ ($c_i$ - косинус угла между $e_i$ и следующим по номеру вектором $e_{i+1}$); пусть $\vec {ОA_i} = a_ie_i$. Условие перпендикулярности прямых $A_{i-1}A_{i+1}$ и $l_i$ эквивалентно таким:
$(a_{i-1}e_{i-1} - a_{i+1}e_{i+1})e_i = 0, a_{i-1}c_{i-1} = a_{i+1}c_i$ (*).
Мы можем, взяв $a_1$ произвольно, выбрать $a_3, a_5, \cdots, a_{1979}, a_2, a_4, \cdots, a_{1978}$ так, чтобы выполнялись все 1979 условий (*), кроме, быть может, одного: $a_{1978}c_{1978} = a_1c_{1979}$. Но, перемножив все 1978 равенств
$\frac{a_3}{a_1} = \frac{c_1}{c_2}, \frac{a_5}{a_3} = \frac{c_3}{c_4}, \cdots, \frac{a_{1979}}{a_{1977}} = \frac{c_{1977}}{c_{1978}}$,
$\frac{a_2}{a_{1979}} = \frac{c_{1979}}{c_2}, \frac{a_4}{a_2} = \frac{c_2}{c_3}, \cdots, \frac{a_{1978}}{a_{1976}} = \frac{c_{1976}}{c_{1977}}$,
мы как раз получим после сокращений недостающее 1979-е равенство.
Через точку $О$ в пространстве проведено 1979 прямых $l_1, l_2, \cdots, l_{1979}$, никакие две из которых не взаимно перпендикулярны. На прямой $l_1$ взята произвольная точка $A_1$, отличная от 0. Докажите, что можно выбрать точки $A_i$ на $l_i, i = 2, 3, \cdots, 1979$, таким образом, чтобы следующие 1979 пар прямых были взаимно перпендикулярными:
$A_1A_3 \perp l_2, A_2A_4 \perp l_3, \cdots, A_{i-1}A_{i+1} \perp l_i, \cdots, A_{1977}A_{1979} \perp l_{1978}, A_{1978}A_1 \perp l_{1979}, A_{1979}A_2 \perp l_1$.
Решение:
Пусть $e_i$ - единичный вектор, направленный по прямой $l_i$. Положим $e_ie_{i+1} = c_i (i = 1, 2, \cdots, 1978)$, $e_{1979}e_1 = c_{1979}$ ($c_i$ - косинус угла между $e_i$ и следующим по номеру вектором $e_{i+1}$); пусть $\vec {ОA_i} = a_ie_i$. Условие перпендикулярности прямых $A_{i-1}A_{i+1}$ и $l_i$ эквивалентно таким:
$(a_{i-1}e_{i-1} - a_{i+1}e_{i+1})e_i = 0, a_{i-1}c_{i-1} = a_{i+1}c_i$ (*).
Мы можем, взяв $a_1$ произвольно, выбрать $a_3, a_5, \cdots, a_{1979}, a_2, a_4, \cdots, a_{1978}$ так, чтобы выполнялись все 1979 условий (*), кроме, быть может, одного: $a_{1978}c_{1978} = a_1c_{1979}$. Но, перемножив все 1978 равенств
$\frac{a_3}{a_1} = \frac{c_1}{c_2}, \frac{a_5}{a_3} = \frac{c_3}{c_4}, \cdots, \frac{a_{1979}}{a_{1977}} = \frac{c_{1977}}{c_{1978}}$,
$\frac{a_2}{a_{1979}} = \frac{c_{1979}}{c_2}, \frac{a_4}{a_2} = \frac{c_2}{c_3}, \cdots, \frac{a_{1978}}{a_{1976}} = \frac{c_{1976}}{c_{1977}}$,
мы как раз получим после сокращений недостающее 1979-е равенство.
