2019-06-16
Натуральные числа $p$ и $q$ взаимно просты. Отрезок $[0; 1]$ разбит на $p + q$ одинаковых отрезков. Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних, лежит ровно одно из $p + q - 2$ чисел
$\frac{1}{p}, \frac{2}{p}, \cdots, \frac{p-1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \cdots, \frac{q-1}{q}$.
Решение:
Поскольку $p$ и $q$ взаимно просты, то каждое из них взаимно просто с $n = p + q$. Поэтому все числа
$\frac{i}{p}, \frac{j}{q}, \frac{i+j}{n} (i = 1, 2, \cdots, p-1; j = 1, 2, \cdots, \cdots, q-1)$
различны. Заметим, что всегда $\frac {i+j}{p+q}$ лежит между $\frac{i}{p}$ и $\frac{j}{q}$; поэтому ясно, что все дроби $\frac{i}{p}, \frac{j}{q}$ лежат в разных отрезках $\left [ \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right ], k = 1, 2, \cdots, n - 2$.