Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3796
2019-06-16 
Найти $x$ и $у$ из системы уравнений
$\frac {x-y \sqrt {x^2 - y^2}}{\sqrt {1 - x^2 + y^2}} = a, \frac {y - x \sqrt {x^2 - y^2}}{\sqrt {1 - x^2 + y^2}} = b$
($a$ и $b$ - данные числа).
Решение:
Складывая и вычитая данные уравнения, а потом перемножая результаты, получим такое следствие системы:
$x^2 - y^2 = a^2 - b^2$, т. е. $\sqrt {x^2 - y^2} = \sqrt {a^2 - b^2}$.
Подставляя это в исходную систему и решая ее (как линейную), найдем ответ. То, что полученные формулы совпадают с исходными с заменой $a$ на $x, b$ на $-y$, позволяет не делать проверку: из формул ответа получатся, как следствие, аналогичные формулы с заменой $х$ на $a, y$ на $-b$, т. е. исходная система.
Заметим, что ничего не изменилось бы, если бы вместо данной системы рассматривалась такая:
$\frac {x - yf (x^2 - y^2)}{\sqrt {1 - f^2 (x^2 - y^2)}} = a, \frac {y - xf (x^2 - y^2)}{\sqrt {1 - f^2 (x^2 - y^2)}} = b$,
где $f$ - любая функция, не превосходящая по модулю 1. Суть этой задачи в том, что «преобразование Лоренца»
$(x, y) \rightarrow (x^{ \prime}, y^{ \prime}), x^{ \prime} = \frac {x - vy}{\sqrt {1 - v^2}}, y^{ \prime} = \frac {y - xv}{\sqrt {1 - v^2}}$,
играющее основную роль в теории относительности Эйнштейна, сохраняет величину $x^2 - y^2 : x^2 - y^2 = (x^{ \prime})^2 - (y^{ \prime})^2$.
Ответ: $x = \frac {a + b \sqrt {a^2 - b^2}}{\sqrt {1 - a^2 + b^2}}: y = \frac {b + a \sqrt {a^2 - b^2}}{\sqrt {1 - a^2 + b^2}}$.
Найти $x$ и $у$ из системы уравнений
$\frac {x-y \sqrt {x^2 - y^2}}{\sqrt {1 - x^2 + y^2}} = a, \frac {y - x \sqrt {x^2 - y^2}}{\sqrt {1 - x^2 + y^2}} = b$
($a$ и $b$ - данные числа).
Решение:
Складывая и вычитая данные уравнения, а потом перемножая результаты, получим такое следствие системы:
$x^2 - y^2 = a^2 - b^2$, т. е. $\sqrt {x^2 - y^2} = \sqrt {a^2 - b^2}$.
Подставляя это в исходную систему и решая ее (как линейную), найдем ответ. То, что полученные формулы совпадают с исходными с заменой $a$ на $x, b$ на $-y$, позволяет не делать проверку: из формул ответа получатся, как следствие, аналогичные формулы с заменой $х$ на $a, y$ на $-b$, т. е. исходная система.
Заметим, что ничего не изменилось бы, если бы вместо данной системы рассматривалась такая:
$\frac {x - yf (x^2 - y^2)}{\sqrt {1 - f^2 (x^2 - y^2)}} = a, \frac {y - xf (x^2 - y^2)}{\sqrt {1 - f^2 (x^2 - y^2)}} = b$,
где $f$ - любая функция, не превосходящая по модулю 1. Суть этой задачи в том, что «преобразование Лоренца»
$(x, y) \rightarrow (x^{ \prime}, y^{ \prime}), x^{ \prime} = \frac {x - vy}{\sqrt {1 - v^2}}, y^{ \prime} = \frac {y - xv}{\sqrt {1 - v^2}}$,
играющее основную роль в теории относительности Эйнштейна, сохраняет величину $x^2 - y^2 : x^2 - y^2 = (x^{ \prime})^2 - (y^{ \prime})^2$.
Ответ: $x = \frac {a + b \sqrt {a^2 - b^2}}{\sqrt {1 - a^2 + b^2}}: y = \frac {b + a \sqrt {a^2 - b^2}}{\sqrt {1 - a^2 + b^2}}$.
