Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3795
2019-06-16 
Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шахматной доски размером
а) $8\times 8$ клеток,
б) $n \times n$ клеток
для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной какой-либо стороне или диагонали доски, стояла хотя бы одна фишка? (Фишки ставятся в центры полей.)
Решение:
Расположение такого количества фишек ясно из рис. а, б. Доказательство того, что меньшим числом обойтись нельзя, проще для четного $n$; на каждой прямой, параллельной одной диагонали, должно стоять по фишке, а на самой диагонали - две (в углах).
Другое доказательство: на каждой показанной на рисунках пунктиром прямой должно стоять по фишке. Именно это доказательство переделывается на случай нечетного $n$ (рис. б): кроме $2n - 2$ пунктирных прямых (на каждой - по фишке), следует рассмотреть еще шесть прямых, соединяющих центры клеток $A, B, C, D$; на них нужно потратить еще не менее 3 фишек.
Ответ: а) при $n = 8 - 16$ фишек; б) при $n$ четном - $2n$, при $n$ нечетном - $2n + 1$.
Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шахматной доски размером
а) $8\times 8$ клеток,
б) $n \times n$ клеток
для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной какой-либо стороне или диагонали доски, стояла хотя бы одна фишка? (Фишки ставятся в центры полей.)
Решение:
Расположение такого количества фишек ясно из рис. а, б. Доказательство того, что меньшим числом обойтись нельзя, проще для четного $n$; на каждой прямой, параллельной одной диагонали, должно стоять по фишке, а на самой диагонали - две (в углах).
Другое доказательство: на каждой показанной на рисунках пунктиром прямой должно стоять по фишке. Именно это доказательство переделывается на случай нечетного $n$ (рис. б): кроме $2n - 2$ пунктирных прямых (на каждой - по фишке), следует рассмотреть еще шесть прямых, соединяющих центры клеток $A, B, C, D$; на них нужно потратить еще не менее 3 фишек.
Ответ: а) при $n = 8 - 16$ фишек; б) при $n$ четном - $2n$, при $n$ нечетном - $2n + 1$.
