Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3793
2019-06-16 
Убывающая последовательность $x_n$ положительных чисел такова, что при любом натуральном $n$
$x_1 + \frac{x_4}{2} + \frac{x_9}{3} + \cdots + \frac{x_{n^2}}{n} \leq 1$.
Докажите, что при любом натуральном $n$
$x_1 + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{3} + \cdots + \frac{x_n}{n} \leq 3$.
Решение:
Рассмотрим отрезки ряда чисел $\frac{x_m}{m}, k^2 \leq m \leq (k+1)^2 - 1 (k = 1, 2, 3, \cdots)$, $k$-й отрезок состоит из $(k + l)^2 - k^2 = 2k + 1$ чисел от $\frac{x_{k^2}}{k^2}$ до $\frac{x_{(k+1)^2 - 1}}{(k+1)^2 - 1}$.
Заменив каждый член $\frac{x_m}{m}$ в $k$-м отрезке наибольшим первым членом отрезка $\frac{x_{k^2}}{k^2}$, получим, что сумма чисел этого отрезка не больше
$\frac {(2k + l)x_{k^2}}{k^2} \leq \frac {3kx_{k^2}}{k^2} = \frac {3x_{k^2}}{k}$.
Теперь для любого натурального $n$ получаем
$\frac{x_1}{1} + \frac{x_2}{2} + \cdots + \frac{x_n}{n} \leq 3 \left ( \frac{x_1}{1} + \frac{x_4}{2} + \frac{x_9}{3} + \cdots + \frac{x_{q^2}}{q} \right )$,
где $q$ - наименьшее число, для которого $q^2 > n$.
Убывающая последовательность $x_n$ положительных чисел такова, что при любом натуральном $n$
$x_1 + \frac{x_4}{2} + \frac{x_9}{3} + \cdots + \frac{x_{n^2}}{n} \leq 1$.
Докажите, что при любом натуральном $n$
$x_1 + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{3} + \cdots + \frac{x_n}{n} \leq 3$.
Решение:
Рассмотрим отрезки ряда чисел $\frac{x_m}{m}, k^2 \leq m \leq (k+1)^2 - 1 (k = 1, 2, 3, \cdots)$, $k$-й отрезок состоит из $(k + l)^2 - k^2 = 2k + 1$ чисел от $\frac{x_{k^2}}{k^2}$ до $\frac{x_{(k+1)^2 - 1}}{(k+1)^2 - 1}$.
Заменив каждый член $\frac{x_m}{m}$ в $k$-м отрезке наибольшим первым членом отрезка $\frac{x_{k^2}}{k^2}$, получим, что сумма чисел этого отрезка не больше
$\frac {(2k + l)x_{k^2}}{k^2} \leq \frac {3kx_{k^2}}{k^2} = \frac {3x_{k^2}}{k}$.
Теперь для любого натурального $n$ получаем
$\frac{x_1}{1} + \frac{x_2}{2} + \cdots + \frac{x_n}{n} \leq 3 \left ( \frac{x_1}{1} + \frac{x_4}{2} + \frac{x_9}{3} + \cdots + \frac{x_{q^2}}{q} \right )$,
где $q$ - наименьшее число, для которого $q^2 > n$.
