2019-06-16
В тетради написано несколько чисел. Разрешается приписать к уже написанным числам любое число, равное среднему арифметическому двух или нескольких из них, если только оно отлично от всех уже написанных. Докажите, что, начиная с двух чисел 0 и 1, с помощью таких приписок можно получить:
а) число 1/5;
б) любое рациональное число между 0 и 1.
Решение:
Легко получаются все двоично-рациональные числа: дроби со знаменателями 2, 4, 8, 16 и т. д.
Для того чтобы из пары $(0; 1)$ получить дробь $\frac{1}{n}$, достаточно выбрать $n$ различных двоично-рациональных чисел с суммой 1 и взять их среднее арифметическое; например, для $n = 5$:
$\frac{1}{5} = \frac { \frac{3}{4} + \frac{3}{4^2} + \frac{3}{4^3} + \frac{3}{4^4} + \frac{1}{4^4}}{5}$
(аналогичный набор строится для любого $n$).
Заметим теперь, что если мы умеем по некоторому плану из пары чисел $(0; 1)$ получать $t$, то по тому же плану из пары чисел $(1,0)$ мы получим $1 - t$ (всюду числа $х$ заменятся на $1 - x$ - операция «среднее арифметическое» сохраняет эту замену), а из пары $(0; r)$ по тому лее плану мы получим $(0; rt)$ (всюду $x$ заменится на $rx$). Таким образом, если мы получили уже $\frac{1}{n}$ и все числа $\frac{k}{n-1}, k = 1, 2, \cdots, n - 1$, то можем получить $1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$ и все $\frac{k}{n} = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{k}{n-1}$.