Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3789
2019-06-16 
Какое наименьшее значение может иметь отношение площадей двух равнобедренных прямоугольных треугольников, три вершины одного из которых лежат на трех разных сторонах другого?
Решение:
Ответ: 1/5. Нужно рассмотреть два случая: вершина прямого угла меньшего треугольника может лежать или на гипотенузе, или на катете большего. В первом случае отношение катетов двух треугольников не меньше 1/2, отношение их площадей - 1/4. Во втором случае, зафиксировав меньший треугольник и пользуясь тем, что вершины большего будут пробегать дуги окружностей, можно получить чисто геометрическое решение; еще проще аналитическое решение: если проекции катета меньшего треугольника на катеты большего равны $x$ и $у$ (рис.), то $x^2 + y^2 = a^2$, а катет большего равен $2x + y \leq a \sqrt{5}$.
Какое наименьшее значение может иметь отношение площадей двух равнобедренных прямоугольных треугольников, три вершины одного из которых лежат на трех разных сторонах другого?
Решение:
Ответ: 1/5. Нужно рассмотреть два случая: вершина прямого угла меньшего треугольника может лежать или на гипотенузе, или на катете большего. В первом случае отношение катетов двух треугольников не меньше 1/2, отношение их площадей - 1/4. Во втором случае, зафиксировав меньший треугольник и пользуясь тем, что вершины большего будут пробегать дуги окружностей, можно получить чисто геометрическое решение; еще проще аналитическое решение: если проекции катета меньшего треугольника на катеты большего равны $x$ и $у$ (рис.), то $x^2 + y^2 = a^2$, а катет большего равен $2x + y \leq a \sqrt{5}$.
