Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3788
2019-06-16 
Рассмотрим последовательность чисел $x_n = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^n$. Каждое из них приводится к виду
$x_n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$,
где $q_n, r_n, s_n, t_n$ - целые числа. Найдите пределы
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac {r_n}{q_n}, lim_{n \rightarrow \infty} \frac {s_n}{q_n}, lim_{n \rightarrow \infty} \frac {t_n}{q_n}$.
Решение:
Рассмотрим вместе с числом $\lambda_1 = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{5}$ «сопряженные», отличающиеся от него знаками радикалов: $\lambda 2 = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}, \lambda_3 = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}$ и $\lambda_4 = 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$. Если
$\lambda_1^n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$,
то, как можно проверить последовательно для $n = 1, 2, 3, 4, \cdots$,
$\lambda_2^n = q_n - r_n \sqrt{2} + s_n - t_n \sqrt{6}$,
$\lambda_3^n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} - t_n \sqrt{6}$,
$\lambda_4^n = q_n - r_n \sqrt{2} - s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$.
Сложив эти четыре равенства, поделив сумму на $4 \lambda_1^n$ и перейдя к пределу, получим $lim \frac{q_n}{ \lambda_1^n} = \frac{1}{4}$, поскольку $|\lambda_j| < \lambda_1$ для $j = 2, 3, 4$, и потому $lim \frac{ | \lambda_j|^n}{ \lambda_1^n} = 0$. Прибавив к первому равенству одно из трех других и вычтя два оставшихся, мы получим: $lim \frac{r_n \sqrt{2}}{ \lambda_1^n} = lim \frac{s_n \sqrt{3}}{ \lambda_1^n} = lim \frac{t_n \sqrt{6}}{ \lambda_1^n} = \frac{1}{4}$ (таким образом, в сумме $q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$ при больших $n$ все слагаемые примерно равны друг другу!) Отсюда находим
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{r_n}{q_n} = \frac{1}{ \sqrt{2}}, lim_{n \rightarrow \infty} \frac{s_n}{q_n} = \frac{1}{ \sqrt{3}}, lim_{n \rightarrow \infty} \frac{t_n}{q_n} = \frac{1}{ \sqrt{6}}$
Отметим, что ответ в этой задаче получился бы тем же самым, если бы вместо $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ стояло любое число $а + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}$ с натуральными $а, b, с, d$.
Рассмотрим последовательность чисел $x_n = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^n$. Каждое из них приводится к виду
$x_n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$,
где $q_n, r_n, s_n, t_n$ - целые числа. Найдите пределы
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac {r_n}{q_n}, lim_{n \rightarrow \infty} \frac {s_n}{q_n}, lim_{n \rightarrow \infty} \frac {t_n}{q_n}$.
Решение:
Рассмотрим вместе с числом $\lambda_1 = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{5}$ «сопряженные», отличающиеся от него знаками радикалов: $\lambda 2 = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}, \lambda_3 = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}$ и $\lambda_4 = 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$. Если
$\lambda_1^n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$,
то, как можно проверить последовательно для $n = 1, 2, 3, 4, \cdots$,
$\lambda_2^n = q_n - r_n \sqrt{2} + s_n - t_n \sqrt{6}$,
$\lambda_3^n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} - t_n \sqrt{6}$,
$\lambda_4^n = q_n - r_n \sqrt{2} - s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$.
Сложив эти четыре равенства, поделив сумму на $4 \lambda_1^n$ и перейдя к пределу, получим $lim \frac{q_n}{ \lambda_1^n} = \frac{1}{4}$, поскольку $|\lambda_j| < \lambda_1$ для $j = 2, 3, 4$, и потому $lim \frac{ | \lambda_j|^n}{ \lambda_1^n} = 0$. Прибавив к первому равенству одно из трех других и вычтя два оставшихся, мы получим: $lim \frac{r_n \sqrt{2}}{ \lambda_1^n} = lim \frac{s_n \sqrt{3}}{ \lambda_1^n} = lim \frac{t_n \sqrt{6}}{ \lambda_1^n} = \frac{1}{4}$ (таким образом, в сумме $q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$ при больших $n$ все слагаемые примерно равны друг другу!) Отсюда находим
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{r_n}{q_n} = \frac{1}{ \sqrt{2}}, lim_{n \rightarrow \infty} \frac{s_n}{q_n} = \frac{1}{ \sqrt{3}}, lim_{n \rightarrow \infty} \frac{t_n}{q_n} = \frac{1}{ \sqrt{6}}$
Отметим, что ответ в этой задаче получился бы тем же самым, если бы вместо $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ стояло любое число $а + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}$ с натуральными $а, b, с, d$.
