Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3787
2019-06-16 
Рассмотрим $n$ чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$. Положим
$b_k = \frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_k}{k}$ (для $k = 1, 2, \cdots, n$),
$C = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + \cdots + (a_n - b_n)^2$,
$D = (a_1 - b_n)^2 + (a_2 - b_n)^2 + \cdots + (a_n - b_n)^2$.
Докажите неравенства $C \leq D \leq 2C$.
Решение:
Положим
$f(x) = (x - a_1)^2 + \cdots + (x - a_n)^2$.
Выделив в этом квадратном трехчлене полный квадрат, получим
$f(x) = n(x - b_n)^2 + f(b_n)$; (*)
при проверке этого равенства нужно учесть, что $nb_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$.
При $n = 1$ нужные неравенства очевидны $(C = D)$. Чтобы доказать их, пользуясь методом математической индукции, достаточно доказать неравенства
$0 \leq f(b_{n+1}) - f(b_n) \leq (a_{n+1} - b_{n+1})^2$,
поскольку при добавлении к $a_1, a_2, \cdots, a_n$ еще одного числа $a_{n+1}$ величина $C$ возрастает на $(a_{n+1} - b_{n+1})$, а $D$ - на $(a_{n+1} - b_{n+1})^2 + f(b_{n+1}) - f(b_n)$. Левое неравенство сразу вытекает из равенства
($\ast$) при $x = b_{n+1}$; правое следует из равенств $(n+1) b_{n+1} = n b_n + a_{n+1}, n (b_{n+1} - b_n) = a_{n+1} - b_{n+1}, f(b_{n+1}) - f (b_n) = n(b_{n+1} - b_n)^2 = \frac{(a_{n+1} - b_{n+1})^2}{n}$.
Тождество (*), выражающее суммы квадратов расстояний до $n$ точек через квадрат расстояния до их «центра масс» (или «среднего значения»), постоянно используется в теории вероятностей, статистике, а его аналоги на плоскости и в пространстве - и в геометрии.
Рассмотрим $n$ чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$. Положим
$b_k = \frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_k}{k}$ (для $k = 1, 2, \cdots, n$),
$C = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + \cdots + (a_n - b_n)^2$,
$D = (a_1 - b_n)^2 + (a_2 - b_n)^2 + \cdots + (a_n - b_n)^2$.
Докажите неравенства $C \leq D \leq 2C$.
Решение:
Положим
$f(x) = (x - a_1)^2 + \cdots + (x - a_n)^2$.
Выделив в этом квадратном трехчлене полный квадрат, получим
$f(x) = n(x - b_n)^2 + f(b_n)$; (*)
при проверке этого равенства нужно учесть, что $nb_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$.
При $n = 1$ нужные неравенства очевидны $(C = D)$. Чтобы доказать их, пользуясь методом математической индукции, достаточно доказать неравенства
$0 \leq f(b_{n+1}) - f(b_n) \leq (a_{n+1} - b_{n+1})^2$,
поскольку при добавлении к $a_1, a_2, \cdots, a_n$ еще одного числа $a_{n+1}$ величина $C$ возрастает на $(a_{n+1} - b_{n+1})$, а $D$ - на $(a_{n+1} - b_{n+1})^2 + f(b_{n+1}) - f(b_n)$. Левое неравенство сразу вытекает из равенства
($\ast$) при $x = b_{n+1}$; правое следует из равенств $(n+1) b_{n+1} = n b_n + a_{n+1}, n (b_{n+1} - b_n) = a_{n+1} - b_{n+1}, f(b_{n+1}) - f (b_n) = n(b_{n+1} - b_n)^2 = \frac{(a_{n+1} - b_{n+1})^2}{n}$.
Тождество (*), выражающее суммы квадратов расстояний до $n$ точек через квадрат расстояния до их «центра масс» (или «среднего значения»), постоянно используется в теории вероятностей, статистике, а его аналоги на плоскости и в пространстве - и в геометрии.
