Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3786
2019-06-16 
Докажите, что для любого тетраэдра существуют такие две плоскости, что отношение площадей проекций тетраэдра на эти плоскости не меньше $\sqrt{2}$.
Решение:
Проведем через два противоположные ребра $a$ и $b$ тетраэдра параллельные плоскости $p$ и $p^{ \prime}$. Пусть $h$ - расстояние между ними. Будем рассматривать лишь проекции тетраэдра на плоскости $q$, перпендикулярные $p$, и уже среди них найдем такие, отношение площадей которых не меньше $\sqrt{2}$. Проекцией тетраэдра на плоскость $q$ служит трапеция с основаниями $a^{ \prime}_q$ и $b^{ \prime}_q$ - проекциями $a$ и $b$ на $q$, высотой $h$ (в частном случае если проекция одного из ребер - $a$ или $b$ - состоит из одной точки, трапеция вырождается в треугольник); площадь проекции равна $(a^{ \prime}_q + b^{ \prime}_q) \frac{h}{2}$. Чтобы проследить, как зависит эта величина от наклона ребер $a$ и $b$ к плоскости $q$, рассмотрим векторы $a$ и $b$, изображаемые ребрами тетраэдра (рис.). Можно, очевидно, считать, что $a \geq b$ и угол $\gamma$ между векторами $a$ и $b$ не превосходит $90^{\circ}$. Отложим их от одной точки $О$ - тогда вместо длин проекций на плоскость $q$ ребер тетраэдра мы можем говорить о длинах проекций векторов $a$ и $b$ на прямую (в плоскости, параллельной $p$ и $p^{ \prime}$). Сумма проекций на прямую $l_1$, параллельную вектору $a + b$, равна $|a + b|$, а на прямую $l_2$, перпендикулярную $a, b \sin \gamma$: отношение этих двух величин не меньше $\sqrt{2}$:
$|a + b|^2 = a^2 + b^2 + 2ab \geq a^2 + b^2 \geq 2b^2 \geq 2b^2 \sin^2 \gamma$.
Заметим, что для правильного тетраэдра оценка $\sqrt{2}$ - наилучшая: площадь любой его проекции заключена между $\frac{a^2}{2}$ и $\frac{а^2}{2 \sqrt{2}}$, где $a$ - длина ребра.
Докажите, что для любого тетраэдра существуют такие две плоскости, что отношение площадей проекций тетраэдра на эти плоскости не меньше $\sqrt{2}$.
Решение:
Проведем через два противоположные ребра $a$ и $b$ тетраэдра параллельные плоскости $p$ и $p^{ \prime}$. Пусть $h$ - расстояние между ними. Будем рассматривать лишь проекции тетраэдра на плоскости $q$, перпендикулярные $p$, и уже среди них найдем такие, отношение площадей которых не меньше $\sqrt{2}$. Проекцией тетраэдра на плоскость $q$ служит трапеция с основаниями $a^{ \prime}_q$ и $b^{ \prime}_q$ - проекциями $a$ и $b$ на $q$, высотой $h$ (в частном случае если проекция одного из ребер - $a$ или $b$ - состоит из одной точки, трапеция вырождается в треугольник); площадь проекции равна $(a^{ \prime}_q + b^{ \prime}_q) \frac{h}{2}$. Чтобы проследить, как зависит эта величина от наклона ребер $a$ и $b$ к плоскости $q$, рассмотрим векторы $a$ и $b$, изображаемые ребрами тетраэдра (рис.). Можно, очевидно, считать, что $a \geq b$ и угол $\gamma$ между векторами $a$ и $b$ не превосходит $90^{\circ}$. Отложим их от одной точки $О$ - тогда вместо длин проекций на плоскость $q$ ребер тетраэдра мы можем говорить о длинах проекций векторов $a$ и $b$ на прямую (в плоскости, параллельной $p$ и $p^{ \prime}$). Сумма проекций на прямую $l_1$, параллельную вектору $a + b$, равна $|a + b|$, а на прямую $l_2$, перпендикулярную $a, b \sin \gamma$: отношение этих двух величин не меньше $\sqrt{2}$:
$|a + b|^2 = a^2 + b^2 + 2ab \geq a^2 + b^2 \geq 2b^2 \geq 2b^2 \sin^2 \gamma$.
Заметим, что для правильного тетраэдра оценка $\sqrt{2}$ - наилучшая: площадь любой его проекции заключена между $\frac{a^2}{2}$ и $\frac{а^2}{2 \sqrt{2}}$, где $a$ - длина ребра.
