2019-06-16
Числа $x_1, x_2, \cdots x_n$ принадлежат отрезку $[a; b]$, где $0 < a < b$. Докажите неравенство
$(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \left ( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n} \right ) \leq \frac {(a+b)^2}{4ab} n^2$.
Решение:
Первое решение. Пользуясь неравенством $ab \leq \frac{(a+b)^2}{4}$, для произвольного числа $c > 0$ имеем:
$P = (x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \left ( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n} \right ) = \left ( \frac{x_1}{c} + \cdots + \frac{x_n}{c} \right ) \left ( \frac{c}{x_1} + \cdots + \frac{c}{x_n} \right ) \leq \frac{1}{4} \left ( \frac{x_1}{c} + \frac{c}{x_1} + \frac{x_2}{c} + \frac{c}{x_2} + \cdots + \frac{x_n}{c} + \frac{c}{x_n} \right )^2$.
Заметим, что функция $f(t)= \frac{c}{t} + \frac{t}{c}$ принимает наибольшее на $[a; b]$ значение обязательно на том или другом конце промежутка; выберем с так, чтобы эти значения совпадали: $f(a) = f(b)$, т. е. возьмем $c = \sqrt{ab}$. Тогда при $a \leq t \leq b$ будет $f(t) \leq \sqrt{ \frac{a}{b}} + \sqrt{ \frac{b}{a}}$. Поэтому
$P \leq n^2 \frac{ \left ( \sqrt{ \frac{a}{b}} + \sqrt{ \frac{b}{a}} \right )^2}{4} = \frac{n^2 (a+b)^2}{4ab}$.
Второе решение. Разместим на дуге гиперболы $y = \frac{1}{x}, a \leq x \leq b$, в точках с абсциссами $x_1, x_2, \cdots, x_n$, одинаковые грузы. Центр масс этих грузов - точка с абсциссой $p = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$ и ординатой $q = \frac{ \left ( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n} \right )}{n}$ - будет лежать в пределах сегмента, ограниченного дугой гиперболы и отрезком, соединяющим ее концы. Ясно, что точку $(p; q)$ в этом сегменте, для которой величина $pq$ наибольшая, нужно искать на отрезке - верхней границе сегмента (рис.). Для точек $(p; q)$ прямой, содержащей этот отрезок, $q$ можно записать как линейную функцию от $p$, тогда $pq$ будет квадратным трехчленом от $p$ (обращающимся в 0 при $p = 0$). Чтобы не выписывать его в явном виде - хоть это и нетрудно, - заметим, что при $p = a$ и $p = b$ он принимает равные значения $a \cdot \frac{1}{a} = b \cdot \frac{1}{b} = 1$; следовательно, наибольшее значение он принимает посередине между этими точками оно равно $(a + b) \frac{ \left ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right )}{4}$. Отсюда следует нужное неравенство.
Из второго решения легко вывести побочный результат: отрезки любой прямой между точками пересечения с гиперболой $y = \frac{1}{x}$ и ее «асимптотами» - осями координат (показанные на рисунке пунктиром) равны.
Возвращаясь к исходной задаче, заметим, что при четном $n$ неравенство дает точную оценку левой части, а при нечетном ее можно несколько уточнить.