Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3782
2019-06-16 
Фишка стоит в углу шахматной доски размером $n \times n$ клеток. Каждый из двух играющих по очереди передвигает ее на соседнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, где фишка уже побывала, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить.
а) Докажите, что если $n$ четно, то начинающий игру может добиться выигрыша, а если $n$ нечетно, то выигрывает второй.
б) Кто выигрывает, если первоначально фишка стоит не на угловом поле, а на соседнем с ним?
Решение:
а) Если $n$ четно, то всю доску можно разбить на прямоугольнички размером $1 \times 2$ клетки («домино»). Начинающий всегда будет иметь возможность сделать ход (и тем самым выиграет), если он будет следовать такой стратегии: если фишка стоит на одной из клеток какого-то домино, то он ставит ее на вторую клетку того же домино («закрывает» домино).
Если $n$ нечетно, то можно разбить на домино все клетки доски, кроме начальной - угловой. Теперь аналогичная стратегия будет выигрышной для второго игрока.
б) Ответ: всегда выигрывает начинающий. При четном $n$ стратегия та же, что в а). При нечетном $n$ нужно снова разбить на домино все клетки, кроме угловой; раскрасив доску в шахматном порядке, легко убедиться, что на угловую клетку, второй никогда пойти не сможет, поэтому первый выигрывает, следуя той же стратегии «закрывания» домино.
Фишка стоит в углу шахматной доски размером $n \times n$ клеток. Каждый из двух играющих по очереди передвигает ее на соседнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, где фишка уже побывала, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить.
а) Докажите, что если $n$ четно, то начинающий игру может добиться выигрыша, а если $n$ нечетно, то выигрывает второй.
б) Кто выигрывает, если первоначально фишка стоит не на угловом поле, а на соседнем с ним?
Решение:
а) Если $n$ четно, то всю доску можно разбить на прямоугольнички размером $1 \times 2$ клетки («домино»). Начинающий всегда будет иметь возможность сделать ход (и тем самым выиграет), если он будет следовать такой стратегии: если фишка стоит на одной из клеток какого-то домино, то он ставит ее на вторую клетку того же домино («закрывает» домино).
Если $n$ нечетно, то можно разбить на домино все клетки доски, кроме начальной - угловой. Теперь аналогичная стратегия будет выигрышной для второго игрока.
б) Ответ: всегда выигрывает начинающий. При четном $n$ стратегия та же, что в а). При нечетном $n$ нужно снова разбить на домино все клетки, кроме угловой; раскрасив доску в шахматном порядке, легко убедиться, что на угловую клетку, второй никогда пойти не сможет, поэтому первый выигрывает, следуя той же стратегии «закрывания» домино.
