Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3781
2019-06-16 
В окружность радиуса $R$ вписан $n$-угольник площади $S$. На каждой стороне $n$-угольника отмечено по точке. Докажите, что периметр $n$-угольника с вершинами в отмеченных точках не меньше $2S/R$.
Решение:
Пусть $A_i$ - вершины вписанного $n$-угольника ($i = 1, 2, \cdots, n); b_i$ - отрезок, соединяющий две отмеченные точки на его сторонах, выходящих из $A_i; O$ - центр круга (рис.): $s_i$ и $s_j$ - площади треугольников с основанием $b_i$, вершинами которых служат $A_i$ и $O$, причем $\acute{s_i}$ берется со знаком минус, если $A_i$ и $O$ лежат по одну сторону от прямой, содержащей $b_i$. Тогда $s_i + s_{i}^{ \prime} \leq \frac{b_i R}{2}$ для каждого $i$ и сумма $s_1^{ \prime} + s_2^{ \prime} + \cdots + s_n^{ \prime}$ равна площади многоугольника с вершинами в отмеченных точках (знак + или - числа $s_i^{ \prime}$ показывает, изнутри или снаружи из точки $O$ видна сторона $b_i$). Поэтому
$S = s_1 + s_2 + \cdots + s_n + s_1^{ \prime} + s_2^{ \prime} + \cdots + s_n^{ \prime} \leq (b_1 + b_2 + \cdots + b_n) \frac{R}{2}$.
В окружность радиуса $R$ вписан $n$-угольник площади $S$. На каждой стороне $n$-угольника отмечено по точке. Докажите, что периметр $n$-угольника с вершинами в отмеченных точках не меньше $2S/R$.
Решение:
Пусть $A_i$ - вершины вписанного $n$-угольника ($i = 1, 2, \cdots, n); b_i$ - отрезок, соединяющий две отмеченные точки на его сторонах, выходящих из $A_i; O$ - центр круга (рис.): $s_i$ и $s_j$ - площади треугольников с основанием $b_i$, вершинами которых служат $A_i$ и $O$, причем $\acute{s_i}$ берется со знаком минус, если $A_i$ и $O$ лежат по одну сторону от прямой, содержащей $b_i$. Тогда $s_i + s_{i}^{ \prime} \leq \frac{b_i R}{2}$ для каждого $i$ и сумма $s_1^{ \prime} + s_2^{ \prime} + \cdots + s_n^{ \prime}$ равна площади многоугольника с вершинами в отмеченных точках (знак + или - числа $s_i^{ \prime}$ показывает, изнутри или снаружи из точки $O$ видна сторона $b_i$). Поэтому
$S = s_1 + s_2 + \cdots + s_n + s_1^{ \prime} + s_2^{ \prime} + \cdots + s_n^{ \prime} \leq (b_1 + b_2 + \cdots + b_n) \frac{R}{2}$.
