Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3779
2019-06-16 
Докажите, что существует такое число $A$, что в график функции $y = A \sin x$ можно вписать не менее 1978 попарно неравных квадратов. (Квадрат называется вписанным, если все его вершины принадлежат графику.)
Решение:
Пусть $M$ - любая точка пересечения графика $y = A \sin x$ с его образом $x = - A \sin y$ при повороте на $90^{\circ}$ вокруг начала координат (рис.). Тогда точка $M$ и ее образы $K, L$ и $N$ при повороте вокруг $O$ на $90^{\circ}, 180^{\circ}$ и $270^{\circ}$ принадлежат графику $у = A \sin x$, так что квадрат $MKLN$ вписан в данный график. При достаточно большом $A$ точку $M$ пересечения графиков можно выбрать более чем 1978 способами, причем на различных расстояниях от точки $O$; например, при $A > 1978 \cdot 2 \pi$ можно взять по одной точке пересечения $k$-й волны исходной и $k$-й волны повернутой траектории (волны отсчитываются от $O$). Здесь используется теорема о существовании корня у непрерывной функции, меняющей знак: из нее нетрудно вывести тот наглядно очевидный факт, что на указанных участках графики пересекаются.
Докажите, что существует такое число $A$, что в график функции $y = A \sin x$ можно вписать не менее 1978 попарно неравных квадратов. (Квадрат называется вписанным, если все его вершины принадлежат графику.)
Решение:
Пусть $M$ - любая точка пересечения графика $y = A \sin x$ с его образом $x = - A \sin y$ при повороте на $90^{\circ}$ вокруг начала координат (рис.). Тогда точка $M$ и ее образы $K, L$ и $N$ при повороте вокруг $O$ на $90^{\circ}, 180^{\circ}$ и $270^{\circ}$ принадлежат графику $у = A \sin x$, так что квадрат $MKLN$ вписан в данный график. При достаточно большом $A$ точку $M$ пересечения графиков можно выбрать более чем 1978 способами, причем на различных расстояниях от точки $O$; например, при $A > 1978 \cdot 2 \pi$ можно взять по одной точке пересечения $k$-й волны исходной и $k$-й волны повернутой траектории (волны отсчитываются от $O$). Здесь используется теорема о существовании корня у непрерывной функции, меняющей знак: из нее нетрудно вывести тот наглядно очевидный факт, что на указанных участках графики пересекаются.
