Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3778
2019-06-16 
Пусть $f(x) = x^2 - x + 1$. Докажите, что для любого натурального числа $m > 1$ числа $m, f(m), f(f(m)), \cdots$ попарно взаимно просты.
Решение:
Поскольку $f(l) = f(0) = 1$, то свободный член $P_n(0)$ многочлена $P_n (x) = \underbrace{f(f( \cdots (}_{n} f(x)) \cdots))$ равен 1. Следовательно, при любом целом $m$ остаток от деления $P_n(m)$ на $m$ равен 1.
Заменив здесь $m$ на $m^{ \prime} = P_k (m)$ получим, что $P_{n+k}(m)$ и $m^{ \prime} = P_k(m)$ взаимно просты.
Из того факта, что существует последовательность $(P_n(2))$, все члены которой попарно взаимно просты, сразу следует бесконечность множества простых чисел.
Пусть $f(x) = x^2 - x + 1$. Докажите, что для любого натурального числа $m > 1$ числа $m, f(m), f(f(m)), \cdots$ попарно взаимно просты.
Решение:
Поскольку $f(l) = f(0) = 1$, то свободный член $P_n(0)$ многочлена $P_n (x) = \underbrace{f(f( \cdots (}_{n} f(x)) \cdots))$ равен 1. Следовательно, при любом целом $m$ остаток от деления $P_n(m)$ на $m$ равен 1.
Заменив здесь $m$ на $m^{ \prime} = P_k (m)$ получим, что $P_{n+k}(m)$ и $m^{ \prime} = P_k(m)$ взаимно просты.
Из того факта, что существует последовательность $(P_n(2))$, все члены которой попарно взаимно просты, сразу следует бесконечность множества простых чисел.
