Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3777
2019-06-16 
Докажите, что существует такая бесконечная ограниченная последовательность $x_n$, что для любых различных $m$ и $k$ выполнено неравенство
$|x_m - x_k| \geq \frac{1}{|m-k|}$.
Решение:
Условию задачи удовлетворяет последовательность $4 \{ n \sqrt{2} \}$, где $\{ x \} = x - [x]$ - дробная часть числа $x (n = 1, 2, 3, \cdots)$. Действительно, если $р$ и $q$ - натуральные числа, $p < (4 - \sqrt{2}) q$, то
$\left | \sqrt{2} - \frac{p}{q} \right | = \frac {|2q^2 - p^2|}{q(q \sqrt 2 + p)} > \frac{1}{4q^2}$,
поэтому при $m > k \geq 1$
$| \{ m \sqrt{2} \} - \{k \sqrt{2} \} | = |(m-k) \sqrt{2} - l| > \frac{1}{4(m-k)}$;
здесь $l = [m \sqrt{2}] - [k \sqrt{2}] < m \sqrt{2} - k \sqrt{2} + 1 \leq (m-k)(\sqrt{2} +1) < (4 - \sqrt{2})(m-k)$.
Здесь использован тот факт, что иррациональное число $\sqrt{2}$ плохо приближается дробями с небольшими знаменателями. Другое решение - например, конструкция последовательности с помощью десятичных дробей - значительно длиннее.
Докажите, что существует такая бесконечная ограниченная последовательность $x_n$, что для любых различных $m$ и $k$ выполнено неравенство
$|x_m - x_k| \geq \frac{1}{|m-k|}$.
Решение:
Условию задачи удовлетворяет последовательность $4 \{ n \sqrt{2} \}$, где $\{ x \} = x - [x]$ - дробная часть числа $x (n = 1, 2, 3, \cdots)$. Действительно, если $р$ и $q$ - натуральные числа, $p < (4 - \sqrt{2}) q$, то
$\left | \sqrt{2} - \frac{p}{q} \right | = \frac {|2q^2 - p^2|}{q(q \sqrt 2 + p)} > \frac{1}{4q^2}$,
поэтому при $m > k \geq 1$
$| \{ m \sqrt{2} \} - \{k \sqrt{2} \} | = |(m-k) \sqrt{2} - l| > \frac{1}{4(m-k)}$;
здесь $l = [m \sqrt{2}] - [k \sqrt{2}] < m \sqrt{2} - k \sqrt{2} + 1 \leq (m-k)(\sqrt{2} +1) < (4 - \sqrt{2})(m-k)$.
Здесь использован тот факт, что иррациональное число $\sqrt{2}$ плохо приближается дробями с небольшими знаменателями. Другое решение - например, конструкция последовательности с помощью десятичных дробей - значительно длиннее.
