Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3775
2019-06-16 
На плоскости (или в пространстве) задано конечное множество $K_0$. К нему добавляются все точки, которые можно получить симметричным отражением одной точки этого множества относительно другой. Полученное множество обозначается $K_1$. Аналогично из множества $K_1$ получается $K_2$, из $K_2 - К_3$ и т.д.
а) Пусть множество $K_0$ состоит из двух точек $A$ и $B$ на расстоянии 1. При каком наименьшем $n$ в множестве $K_n$ найдется точка, находящаяся на расстоянии 1000 от точки $A$?
б) Пусть $K_0$ состоит из трех вершин правильного треугольника площади 1. Найдите площадь наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего множество $K_n (n = 1, 2, \cdots)$.
В следующих пунктах $K_0$ - множество из четырех точек, являющихся вершинами правильного тетраэдра единичного объема.
в) Рассмотрим наименьший выпуклый многогранник, содержащий все точки множества $K_1$. Сколько и каких граней у этого многогранника?
г) Чему равен объем этого многогранника?
д) Найдите объем наименьшего выпуклого многогранника, содержащего множества $K_n$ (при $n = 2, 3, \cdots)$.
Решение:
а)
Множество $K_n$ состоит из точек прямой $AB$, удаленных от $A$ и $B$ на целочисленные расстояния, причем крайние его точки удалены от середины отрезка $AB$ на расстояние $3^n /2$ {$n = 1, 2, 3, \cdots$), т. е. от $A$ - на расстояния $\frac{3^n - 1}{2}$ и $\frac{3^n + 1}{2}$. Поскольку $\frac{3^6 + 1}{2} = 365 < 1000$, а $\frac{3^7 + 1}{2} > 1000$, искомое множество - $K_7$.
Ответ: $n = 7$.
б) Многоугольники, являющиеся выпуклыми оболочками множеств $K_1, K_2, \cdots$ - шестиугольники (рис. а), Вершины выпуклой оболочки $K_{n}$ получаются так: надо взять каждую пару вершин треугольника $ABC$ и проделать с ней $n$ операций «симметричного отражения» - как в задаче а). Чтобы доказать, что все точки $K_n$ лежат в пределах выпуклой оболочки $H_n$ шести построенных «крайних точек», удобно рассмотреть $H_n$ как пересечение трех полос, края которых идут по противоположным сторонам шестиугольника $H_n (n = 1, 2, 3, \cdots)$. Первоначальный треугольник $ABC$ можно также рассматривать как пересечение трех полос; полосы, у которой один край идет по прямой $AB$, а другой переходит через точку $С$, и двух аналогичных. Все симметричные отражения полосы относительно любой ее точки принадлежат полосе с той же осью, но в три раза большей ширины. Пользуясь этим, можно доказать, что $K_n (n = 1, 2, 3, \cdots)$ принадлежит каждой из трех полос, в пересечении дающих $H_n$.
Площадь $H_n$ можно подсчитать как комбинацию площадей треугольников, гомотетичных $ABC$. Она равна ($\frac{3^{2n+1} - 1}{2}$,
в) Множество $K_1$ содержит, кроме точек $k_0$, еще 12 точек, полученных отражением одной из вершин тетраэдра $ABCD$ относительно другой. Удобно представить эти 12 «крайних» точек $k_1$ построив куб $L_0$, у которого точки $A, B, C, D$ - несмежные вершины, и гомотетичный $L_0$ относительно центра с коэффициентом 3 куб $L_1$ с соответствующими вершинами $A_1, B_1, C_1, D_1$. 12 точек $k_1$ лежат по одной на ребрах $L_1$ и делят их, считая от вершин $A_1, B_1, C_1, D_1$, в отношении $1 : 2$. Если от каждой вершины $L_1$ плоскостью, проходящей через 3 «крайние» точки на выходящих из этой вершины ребрах, отрезать пирамиду, то оставшийся многогранник $M_1$ - выпуклая оболочка $k_1$ - будет иметь 14 граней: 6 прямоугольников $а \times 2a$ (где $а$ - длина ребра тетраэдра $ABCD$) и 8 правильных треугольников - четыре со стороной $а$ и 4 со стороной $2a$ (рис. б).
г) Объем $M_1$ можно подсчитать, вычтя из объема куба объем отрезаемых пирамид $\left ( 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot 4 = 18 \right )$. Он равен 63.
д) Выпуклая оболочка $M_n$ множества $K_n$ будет выпуклым многогранником с вершинами в 12 «крайних» точках, построенных для каждой пары вершин тетраэдра $ABCD$. Вершины $M_n$ лежат по одной на ребрах куба $L_n$, полученного из $L_0$ центральной гомотетией с коэффициентом $3^n$, и делят их в отношениях $(3^n - 1) : (3^n + 1)$.
В доказательстве удобно рассмотреть 7 полос, в пересечении дающих $M_n$: каждая из них получается раздутием в $3^n$ раз из полосы, края которой содержат все четыре вершины тетраэдра $ABCD$. Объем $M_n$ равен $\frac{5 \cdot 3^{3n} - 3^{n+1}}{2}$.
На плоскости (или в пространстве) задано конечное множество $K_0$. К нему добавляются все точки, которые можно получить симметричным отражением одной точки этого множества относительно другой. Полученное множество обозначается $K_1$. Аналогично из множества $K_1$ получается $K_2$, из $K_2 - К_3$ и т.д.
а) Пусть множество $K_0$ состоит из двух точек $A$ и $B$ на расстоянии 1. При каком наименьшем $n$ в множестве $K_n$ найдется точка, находящаяся на расстоянии 1000 от точки $A$?
б) Пусть $K_0$ состоит из трех вершин правильного треугольника площади 1. Найдите площадь наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего множество $K_n (n = 1, 2, \cdots)$.
В следующих пунктах $K_0$ - множество из четырех точек, являющихся вершинами правильного тетраэдра единичного объема.
в) Рассмотрим наименьший выпуклый многогранник, содержащий все точки множества $K_1$. Сколько и каких граней у этого многогранника?
г) Чему равен объем этого многогранника?
д) Найдите объем наименьшего выпуклого многогранника, содержащего множества $K_n$ (при $n = 2, 3, \cdots)$.
Решение:
а)
Множество $K_n$ состоит из точек прямой $AB$, удаленных от $A$ и $B$ на целочисленные расстояния, причем крайние его точки удалены от середины отрезка $AB$ на расстояние $3^n /2$ {$n = 1, 2, 3, \cdots$), т. е. от $A$ - на расстояния $\frac{3^n - 1}{2}$ и $\frac{3^n + 1}{2}$. Поскольку $\frac{3^6 + 1}{2} = 365 < 1000$, а $\frac{3^7 + 1}{2} > 1000$, искомое множество - $K_7$.
Ответ: $n = 7$.
б) Многоугольники, являющиеся выпуклыми оболочками множеств $K_1, K_2, \cdots$ - шестиугольники (рис. а), Вершины выпуклой оболочки $K_{n}$ получаются так: надо взять каждую пару вершин треугольника $ABC$ и проделать с ней $n$ операций «симметричного отражения» - как в задаче а). Чтобы доказать, что все точки $K_n$ лежат в пределах выпуклой оболочки $H_n$ шести построенных «крайних точек», удобно рассмотреть $H_n$ как пересечение трех полос, края которых идут по противоположным сторонам шестиугольника $H_n (n = 1, 2, 3, \cdots)$. Первоначальный треугольник $ABC$ можно также рассматривать как пересечение трех полос; полосы, у которой один край идет по прямой $AB$, а другой переходит через точку $С$, и двух аналогичных. Все симметричные отражения полосы относительно любой ее точки принадлежат полосе с той же осью, но в три раза большей ширины. Пользуясь этим, можно доказать, что $K_n (n = 1, 2, 3, \cdots)$ принадлежит каждой из трех полос, в пересечении дающих $H_n$.
Площадь $H_n$ можно подсчитать как комбинацию площадей треугольников, гомотетичных $ABC$. Она равна ($\frac{3^{2n+1} - 1}{2}$,
в) Множество $K_1$ содержит, кроме точек $k_0$, еще 12 точек, полученных отражением одной из вершин тетраэдра $ABCD$ относительно другой. Удобно представить эти 12 «крайних» точек $k_1$ построив куб $L_0$, у которого точки $A, B, C, D$ - несмежные вершины, и гомотетичный $L_0$ относительно центра с коэффициентом 3 куб $L_1$ с соответствующими вершинами $A_1, B_1, C_1, D_1$. 12 точек $k_1$ лежат по одной на ребрах $L_1$ и делят их, считая от вершин $A_1, B_1, C_1, D_1$, в отношении $1 : 2$. Если от каждой вершины $L_1$ плоскостью, проходящей через 3 «крайние» точки на выходящих из этой вершины ребрах, отрезать пирамиду, то оставшийся многогранник $M_1$ - выпуклая оболочка $k_1$ - будет иметь 14 граней: 6 прямоугольников $а \times 2a$ (где $а$ - длина ребра тетраэдра $ABCD$) и 8 правильных треугольников - четыре со стороной $а$ и 4 со стороной $2a$ (рис. б).
г) Объем $M_1$ можно подсчитать, вычтя из объема куба объем отрезаемых пирамид $\left ( 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot 4 = 18 \right )$. Он равен 63.
д) Выпуклая оболочка $M_n$ множества $K_n$ будет выпуклым многогранником с вершинами в 12 «крайних» точках, построенных для каждой пары вершин тетраэдра $ABCD$. Вершины $M_n$ лежат по одной на ребрах куба $L_n$, полученного из $L_0$ центральной гомотетией с коэффициентом $3^n$, и делят их в отношениях $(3^n - 1) : (3^n + 1)$.
В доказательстве удобно рассмотреть 7 полос, в пересечении дающих $M_n$: каждая из них получается раздутием в $3^n$ раз из полосы, края которой содержат все четыре вершины тетраэдра $ABCD$. Объем $M_n$ равен $\frac{5 \cdot 3^{3n} - 3^{n+1}}{2}$.
