Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3772
2019-06-16 
Обозначим через $a_n$ целое число, ближайшее к $\sqrt{n}$. Найдите сумму
$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_{1980}}$.
Решение:
Каждое число $k = 1, 2, 3, \cdots$ встречается в последовательности $(a_n) 2k$ раз, поскольку условие $a_n = k$ эквивалентно тому, что
$k - \frac{1}{2} < \sqrt{n} < k + \frac{1}{2}$, или $k^2 - k < n \leq k^2 + k$.
Поэтому в сумме
$\left ( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} \right ) + \left ( \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} + \frac{1}{a_6} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{a_{44 \cdot 43 +1}} + \cdots + \frac{1}{a_{44 \cdot 45}} \right )$
каждая из 44 круглых скобок равна $2k \frac{1}{k} = 2$.
Ответ: 88.
Обозначим через $a_n$ целое число, ближайшее к $\sqrt{n}$. Найдите сумму
$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_{1980}}$.
Решение:
Каждое число $k = 1, 2, 3, \cdots$ встречается в последовательности $(a_n) 2k$ раз, поскольку условие $a_n = k$ эквивалентно тому, что
$k - \frac{1}{2} < \sqrt{n} < k + \frac{1}{2}$, или $k^2 - k < n \leq k^2 + k$.
Поэтому в сумме
$\left ( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} \right ) + \left ( \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} + \frac{1}{a_6} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{a_{44 \cdot 43 +1}} + \cdots + \frac{1}{a_{44 \cdot 45}} \right )$
каждая из 44 круглых скобок равна $2k \frac{1}{k} = 2$.
Ответ: 88.
