Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3771
2019-06-16 
Мы будем рассматривать многочлены от одного переменного $x$ со старшим коэффициентом 1. Будем говорить, что два таких многочлена $P$ и $Q$ коммутируют, если многочлены $P(Q(x))$ и $Q(P(x))$ тождественно равны (т. е. после раскрытия скобок и приведения к стандартному виду все коэффициенты этих многочленов совпадают).
а) Для каждого числа а найдите все многочлены $Q$ степени не выше трех, коммутирующие с многочленом $P(x) = x^2 - \alpha$.
б) Пусть $P$ - многочлен степени 2, $k$ - натуральное число. Докажите, что существует не более одного многочлена степени $k$, коммутирующего с $P$.
в) Найдите многочлены степеней 4 и 8, коммутирующие с данным многочленом $P$ степени 2.
г) Многочлены $R$ и $Q$ коммутируют с одним и тем же многочленом $P$ степени 2. Докажите, что они коммутируют между собой.
д) Докажите, что существует бесконечная последовательность многочленов $P_2, P_3, P_4, \cdots, P_k, \cdots$, где $P_k$ - многочлен степени $k$ в которой любые два многочлена коммутируют и многочлен $P_2$ имеет вид $P_2(x) = x^2 - 2$.
Решение:
а) Доказательство, что других многочленов нет, и проверка получаются прямым сравнением коэффициентов, Например, для многочлена степени 3: тождество
$(x^3 + \beta_1 x^2 + \beta_2 x + \beta_3)^2 - \alpha = (x^2 - \alpha)^3 + \beta_1 (x^2 - \alpha)^2 + \beta_2 (x^2 - \alpha) + \beta_3$
выполнено, если $\beta_1 = \beta_3 = 0$ (сравнение коэффициентов при $x^5, x^3$ и $x$) $2 \beta_2 = - 3 \alpha$ (сравнение коэффициентов при $x^4$), $\beta_2^2 = 3 \alpha^2 + \beta_2$ (при $x^2$), $\alpha = \alpha^3 + \beta_2 \alpha$ (свободный член), откуда либо $\alpha = 0$ и $\beta_2 = 0$, либо
$\beta_2 = - \frac{3 \alpha}{2} = 1 - \alpha^2 = \beta_2^2 - 3 \alpha^2$;
как ни удивительно, три уравнения с двумя неизвестными имеют решение $\alpha = 2, \beta_2 = -3$.
Ответ: многочлены $Q_1(x)= x$ и $Q_2(x)=P(x)$ коммутируют с многочленом $P(x)= x^2 - \alpha$ при любом $\alpha$; многочлен $Q$ степени 3, коммутирующий с $х^2 - \alpha$, существует при $\alpha = 0 (Q(x)= x^3)$ и при $\alpha = 2 (Q(x) = x^3 - 3x)$.
б) Нетрудно проверить, что при одновременном преобразовании двух коммутирующих многочленов $P(x)$ и $Q(x)$
$P(x) \rightarrow P^{*}(x) = P(x - \gamma) + \gamma$, $Q(x) \rightarrow Q^{*} (x) = Q (x - \gamma) + \gamma$
($\gamma$ - некоторое число) полученные многочлены $P^{*} (x)$ и $Q^{*} (x)$ также коммутируют друг с другом. (Если рассматривать многочлен как функцию, отображающую числовую прямую в себя, то указанное преобразование соответствует сдвигу на $\gamma$ начала отсчета на прямой.) Любой многочлен 2-й степени со старшим коэффициентом 1 можно (выделив полный квадрат) указанным преобразованием привести к виду $P^{*} (x) = x^2 - \gamma$. Поэтому можно сразу считать, что $P^{*} (x) = x^2 - \alpha$, и действовать так же, как в пункте а).
Выписывая систему уравнений на коэффициенты $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_k$ из тождества $(Q(x))^2 - \alpha = Q(x^2 - \alpha)$, где $Q(x) = x^k + \beta_1 x^{k-1} + \beta_2 x^{k-2} + \cdots + \beta_k$, получим прежде всего равенства $\beta_1 = \beta_3 = \cdots = 0$, а далее - уравнения вида $\beta_2 = F_2, \beta_4 = F_4, \cdots$ где функция $F_i$ зависит от $\alpha$ и от $\beta_2j, 2j < i$, так что коэффициенты $\beta_2, \beta_4 \cdots$ находятся однозначно (лишь $[k/2]$ из $k$ уравнений, полученных приравниванием коэффициентов при $x^{2k-2}, x^{2k-4}, \cdots, x^2$ и свободного члена, используются для отыскания $\beta_2j$; остальные - дополнительные условия, которые могут и не выполняться).
в) Это $P(P(x))$ и $P(P(P(x)))$.
г) Будем вместо $P(Q), P(Q(R))$ писать $P \circ Q, P \circ Q \circ R$. По условию $Q \circ P = P \circ Q$ и $R \circ P = P \circ R$, откуда
$(Q \circ R) \circ P = Q \circ R \circ P = Q \circ P \circ R = P \circ Q \circ R = P \circ (Q \circ R)$,
$R \circ Q \circ P = R \circ Q \circ P = R \circ P \circ Q = P \circ R \circ Q = P \circ (R \circ Q)$.
Мы видим, что многочлены $Q \circ R$ и $R \circ Q$ оба коммутируют с $P$. Поскольку они имеют одинаковую степень (произведение степеней $R$ и $Q$), согласно б) они совпадают.
д) Методом математической индукции можно доказать, что для любого $k \geq 2$ существует многочлен $P_k$ степени $k$ такой, что
$t^k + \frac{1}{t^k} = P_k \left ( t + \frac{1}{t} \right )$;
в частности,
$t^2 + \frac{1}{t^2} = \left ( t + \frac{1}{t} \right )^2 - 2, t^3 + \frac{1}{t^3} = \left (t + \frac{1}{t} \right )^3 - 3 \left ( t + \frac{1}{t} \right )$,
так что $P_2(x) = x^2 - 2, P_3(x) = x^3 - 3x$. При этом
$t^{mn} + \frac{1}{t^{mn}} = P_m \left ( t^n + \frac{1}{t^n} \right ) = P_n \left ( t^m + \frac{1}{t^m} \right ) = P_m \left ( P_n \left (t + \frac{1}{t} \right ) \right ) = P_n \left ( P_m \left ( t + \frac{1}{t} \right ) \right ) = P_{mn} \left ( t + \frac{1}{t} \right )$;
из этих тождеств следует, что $P_m \circ P_n = P_n \circ P_m = P_{mn}$.
Эти многочлены получаются простой заменой переменных из многочленов Чебышева $T_k$, определяемых тождествами
$\cos k \phi = T_k (\cos \phi), k = 2, 3, \cdots; Р_k (x) = 2T_k (x/2)$.
Мы будем рассматривать многочлены от одного переменного $x$ со старшим коэффициентом 1. Будем говорить, что два таких многочлена $P$ и $Q$ коммутируют, если многочлены $P(Q(x))$ и $Q(P(x))$ тождественно равны (т. е. после раскрытия скобок и приведения к стандартному виду все коэффициенты этих многочленов совпадают).
а) Для каждого числа а найдите все многочлены $Q$ степени не выше трех, коммутирующие с многочленом $P(x) = x^2 - \alpha$.
б) Пусть $P$ - многочлен степени 2, $k$ - натуральное число. Докажите, что существует не более одного многочлена степени $k$, коммутирующего с $P$.
в) Найдите многочлены степеней 4 и 8, коммутирующие с данным многочленом $P$ степени 2.
г) Многочлены $R$ и $Q$ коммутируют с одним и тем же многочленом $P$ степени 2. Докажите, что они коммутируют между собой.
д) Докажите, что существует бесконечная последовательность многочленов $P_2, P_3, P_4, \cdots, P_k, \cdots$, где $P_k$ - многочлен степени $k$ в которой любые два многочлена коммутируют и многочлен $P_2$ имеет вид $P_2(x) = x^2 - 2$.
Решение:
а) Доказательство, что других многочленов нет, и проверка получаются прямым сравнением коэффициентов, Например, для многочлена степени 3: тождество
$(x^3 + \beta_1 x^2 + \beta_2 x + \beta_3)^2 - \alpha = (x^2 - \alpha)^3 + \beta_1 (x^2 - \alpha)^2 + \beta_2 (x^2 - \alpha) + \beta_3$
выполнено, если $\beta_1 = \beta_3 = 0$ (сравнение коэффициентов при $x^5, x^3$ и $x$) $2 \beta_2 = - 3 \alpha$ (сравнение коэффициентов при $x^4$), $\beta_2^2 = 3 \alpha^2 + \beta_2$ (при $x^2$), $\alpha = \alpha^3 + \beta_2 \alpha$ (свободный член), откуда либо $\alpha = 0$ и $\beta_2 = 0$, либо
$\beta_2 = - \frac{3 \alpha}{2} = 1 - \alpha^2 = \beta_2^2 - 3 \alpha^2$;
как ни удивительно, три уравнения с двумя неизвестными имеют решение $\alpha = 2, \beta_2 = -3$.
Ответ: многочлены $Q_1(x)= x$ и $Q_2(x)=P(x)$ коммутируют с многочленом $P(x)= x^2 - \alpha$ при любом $\alpha$; многочлен $Q$ степени 3, коммутирующий с $х^2 - \alpha$, существует при $\alpha = 0 (Q(x)= x^3)$ и при $\alpha = 2 (Q(x) = x^3 - 3x)$.
б) Нетрудно проверить, что при одновременном преобразовании двух коммутирующих многочленов $P(x)$ и $Q(x)$
$P(x) \rightarrow P^{*}(x) = P(x - \gamma) + \gamma$, $Q(x) \rightarrow Q^{*} (x) = Q (x - \gamma) + \gamma$
($\gamma$ - некоторое число) полученные многочлены $P^{*} (x)$ и $Q^{*} (x)$ также коммутируют друг с другом. (Если рассматривать многочлен как функцию, отображающую числовую прямую в себя, то указанное преобразование соответствует сдвигу на $\gamma$ начала отсчета на прямой.) Любой многочлен 2-й степени со старшим коэффициентом 1 можно (выделив полный квадрат) указанным преобразованием привести к виду $P^{*} (x) = x^2 - \gamma$. Поэтому можно сразу считать, что $P^{*} (x) = x^2 - \alpha$, и действовать так же, как в пункте а).
Выписывая систему уравнений на коэффициенты $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_k$ из тождества $(Q(x))^2 - \alpha = Q(x^2 - \alpha)$, где $Q(x) = x^k + \beta_1 x^{k-1} + \beta_2 x^{k-2} + \cdots + \beta_k$, получим прежде всего равенства $\beta_1 = \beta_3 = \cdots = 0$, а далее - уравнения вида $\beta_2 = F_2, \beta_4 = F_4, \cdots$ где функция $F_i$ зависит от $\alpha$ и от $\beta_2j, 2j < i$, так что коэффициенты $\beta_2, \beta_4 \cdots$ находятся однозначно (лишь $[k/2]$ из $k$ уравнений, полученных приравниванием коэффициентов при $x^{2k-2}, x^{2k-4}, \cdots, x^2$ и свободного члена, используются для отыскания $\beta_2j$; остальные - дополнительные условия, которые могут и не выполняться).
в) Это $P(P(x))$ и $P(P(P(x)))$.
г) Будем вместо $P(Q), P(Q(R))$ писать $P \circ Q, P \circ Q \circ R$. По условию $Q \circ P = P \circ Q$ и $R \circ P = P \circ R$, откуда
$(Q \circ R) \circ P = Q \circ R \circ P = Q \circ P \circ R = P \circ Q \circ R = P \circ (Q \circ R)$,
$R \circ Q \circ P = R \circ Q \circ P = R \circ P \circ Q = P \circ R \circ Q = P \circ (R \circ Q)$.
Мы видим, что многочлены $Q \circ R$ и $R \circ Q$ оба коммутируют с $P$. Поскольку они имеют одинаковую степень (произведение степеней $R$ и $Q$), согласно б) они совпадают.
д) Методом математической индукции можно доказать, что для любого $k \geq 2$ существует многочлен $P_k$ степени $k$ такой, что
$t^k + \frac{1}{t^k} = P_k \left ( t + \frac{1}{t} \right )$;
в частности,
$t^2 + \frac{1}{t^2} = \left ( t + \frac{1}{t} \right )^2 - 2, t^3 + \frac{1}{t^3} = \left (t + \frac{1}{t} \right )^3 - 3 \left ( t + \frac{1}{t} \right )$,
так что $P_2(x) = x^2 - 2, P_3(x) = x^3 - 3x$. При этом
$t^{mn} + \frac{1}{t^{mn}} = P_m \left ( t^n + \frac{1}{t^n} \right ) = P_n \left ( t^m + \frac{1}{t^m} \right ) = P_m \left ( P_n \left (t + \frac{1}{t} \right ) \right ) = P_n \left ( P_m \left ( t + \frac{1}{t} \right ) \right ) = P_{mn} \left ( t + \frac{1}{t} \right )$;
из этих тождеств следует, что $P_m \circ P_n = P_n \circ P_m = P_{mn}$.
Эти многочлены получаются простой заменой переменных из многочленов Чебышева $T_k$, определяемых тождествами
$\cos k \phi = T_k (\cos \phi), k = 2, 3, \cdots; Р_k (x) = 2T_k (x/2)$.
