Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3769
2019-06-16 
На плоскости дано 1000 квадратов со сторонами, параллельными осям координат. Пусть $M$ - множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждая точка множества $M$ попала не менее чем в один и не более чем в четыре отмеченных квадрата.
Решение:
Выберем самый большой из данных квадратов $k_1$ затем - самый большой $k_2$ из тех, чьи центры не лежат в $K_1$, затем - самый большой из оставшихся, чьи центры не лежат в уже отмеченных квадратах $K_i$ и $K_2$ и т. д.
Предположим, что при этом центр $С$ некоторого квадрата попадет более чем в четыре отмеченных, тогда центры каких-то двух из них ($k_i$ и $k_j$) попадут в одну и ту же из четвертей, на которую делят плоскость оси симметрии квадрата с центром $С$. Тот из квадратов $K_i$ и $K_j$ центр которого находится дальше от этих осей (по сумме расстояний, или по наибольшему из них), содержит центр другого. Но это противоречит правилу выбора квадратов.
На плоскости дано 1000 квадратов со сторонами, параллельными осям координат. Пусть $M$ - множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждая точка множества $M$ попала не менее чем в один и не более чем в четыре отмеченных квадрата.
Решение:
Выберем самый большой из данных квадратов $k_1$ затем - самый большой $k_2$ из тех, чьи центры не лежат в $K_1$, затем - самый большой из оставшихся, чьи центры не лежат в уже отмеченных квадратах $K_i$ и $K_2$ и т. д.
Предположим, что при этом центр $С$ некоторого квадрата попадет более чем в четыре отмеченных, тогда центры каких-то двух из них ($k_i$ и $k_j$) попадут в одну и ту же из четвертей, на которую делят плоскость оси симметрии квадрата с центром $С$. Тот из квадратов $K_i$ и $K_j$ центр которого находится дальше от этих осей (по сумме расстояний, или по наибольшему из них), содержит центр другого. Но это противоречит правилу выбора квадратов.
