Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3768
2019-06-16 
Даны натуральные числа $x_1, x_2, \cdots, x_n$ и $y_1, y_2, \cdots, y_m$. Суммы $x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ и $y_1 + y_2 + \cdots + y_m$ равны между собой и меньше $mn$. Докажите, что в равенстве $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = y_1 + y_2 + \cdots + y_m$ можно вычеркнуть часть слагаемых так, чтобы снова получилось верное равенство.
Решение:
Из условий задачи следует, что величина
$s = x_1 + x_2 + \cdots + x_m = y_1 + y_2 + \cdots + y_n$
не меньше 2 (поскольку $m \leq s, n \leq s, s < mn$). В случае $m = n = 2$, утверждение задачи легко проверяется. Докажем его в общем случае индукцией по $m + n = k$, где $k \geq 4$.
Пусть $x_i > y_i$ - наибольшие числа среди $x_i$ и $y_j$ соответственно ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$; случай $x_1 = y_1$ очевиден). Чтобы применить индукционное предположение к равенству
$(x_1 - y_1) + x_2 + \cdots + x_m = y_2 + \cdots + y_m$
с $k - 1 = m + n - 1$ числами в обеих частях (после чего останется, быть может, перенести $y_1$ в правую часть), достаточно проверить выполнение неравенства $s^{ \prime} = y_2 + \cdots + y_n < m(n - 1)$; поскольку $y_1 > \frac{s}{n}$, то $s^{ \prime} < s - \frac{s}{n} = mn \cdot \frac{n-1}{n} = m(n-1)$.
Даны натуральные числа $x_1, x_2, \cdots, x_n$ и $y_1, y_2, \cdots, y_m$. Суммы $x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ и $y_1 + y_2 + \cdots + y_m$ равны между собой и меньше $mn$. Докажите, что в равенстве $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = y_1 + y_2 + \cdots + y_m$ можно вычеркнуть часть слагаемых так, чтобы снова получилось верное равенство.
Решение:
Из условий задачи следует, что величина
$s = x_1 + x_2 + \cdots + x_m = y_1 + y_2 + \cdots + y_n$
не меньше 2 (поскольку $m \leq s, n \leq s, s < mn$). В случае $m = n = 2$, утверждение задачи легко проверяется. Докажем его в общем случае индукцией по $m + n = k$, где $k \geq 4$.
Пусть $x_i > y_i$ - наибольшие числа среди $x_i$ и $y_j$ соответственно ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$; случай $x_1 = y_1$ очевиден). Чтобы применить индукционное предположение к равенству
$(x_1 - y_1) + x_2 + \cdots + x_m = y_2 + \cdots + y_m$
с $k - 1 = m + n - 1$ числами в обеих частях (после чего останется, быть может, перенести $y_1$ в правую часть), достаточно проверить выполнение неравенства $s^{ \prime} = y_2 + \cdots + y_n < m(n - 1)$; поскольку $y_1 > \frac{s}{n}$, то $s^{ \prime} < s - \frac{s}{n} = mn \cdot \frac{n-1}{n} = m(n-1)$.
