2019-06-16
Будем называть $2n$-значное число особым, если око само является точным квадратом, и числа, образованные его первыми цифрами и его последними $n$ цифрами, также являются точными квадратами (при этом второе $n$-значное число может начинаться с цифры 0, но не должно быть равно нулю, а первое не может начинаться с нуля).
а) Найдите все двузначные и четырехзначные особые числа.
б) Возможны ли шестизначные особые числа? (Докажите, что их нет или приведите пример такого числа,)
в) Докажите, что существует хотя бы одно 20-значное особое число.
г) Докажите, что существует не более 10 особых 100-значных чисел.
д) Докажите, что существует хотя бы одно 30-значное особое число.
Решение:
а) Пусть $(10x + t)^2 = 100x^2 + 20xt + t^2$, где $20xt + t^2$ - квадрат натурального числа, меньшего 10, $x$ и $t$ - целые числа от 1 до 9 и $x^2 >10$. Тогда $x \geq 4$ и $x \leq 4$, что возможно лишь при $x = 4$ и $t = 1$.
Ответ: существует одно двузначное 49 и одно четырехзначное $1681 = 41^2$ особое число.
б) Ответ: да; например, $256036 = 506^2$.
в) Чтобы получить нужное особое число вида
$(10^5 x + 1)^2 = 10^{10}x^2 + 2 \cdot 10^5 x + 1$,
достаточно найти целое $x$ такое, что $10^9 < x^2 < 10^{10}$ и $2 \cdot 10^5x + 1 = у^2 < 10^{10}$. Можно взять $x = 5 \cdot 10^4 - 1$ (искомым 20-значным особым числом будет
$(4999900001)^2 = 24999000019999800001$;
оно «состоит» из $49999^2$ и $99999^2$).
г) Для любого $k$ особым $4k$-значным числом может быть лишь
$(10^kx + t)^2 = 10^2kx^2 + 2 \cdot 10^k xt + t^2$
при $10^{2k-1} \leq x^2 < 10^2k$, откуда $x > 3 \cdot 10^{k-1}$, и $6 \cdot 10^{2k-1} t < 10^2k$, откуда $t = 1$. При этом равенство $2 \cdot 10^k x + 1 = (2u + 1)^2$, эквивалентное $2^{k_1} 5^k x = u(u+1)$, выполняется лишь в трех случаях:
(1) $u + 1$ делится на $5 \cdot 10^{k-1}$;
(2) $u$ делится на $2^{к-1}$, $u + 1$ - на $5^k$;
(3) $u$ делится на $5^k$, $u + 1$ - на $2^{k-1}$.
Каждый случай дает не более чем одно решение, удовлетворяющее условию $u < 5 \cdot 10^{k-1}$, эквивалентному $2u + 1 < 10^k$ (в случаях (2) и (3) достаточно рассмотреть разность двух решений, чтобы прийти в противоречие с этим условием), Поэтому существует не более трех особых чисел.
Более детальные рассуждения показывают, что таких чисел не более двух.
д) Для любого $k$ существует по крайней мере одно $(4k + 2)$-значное особое число, а именно $z^2 = v + w^2$, где $v = 25 \cdot 10^{2k-1}, w$ - наименьшее натуральное число, большее $\sqrt v$. Пусть $у = w^2 - v$; при этом $z^2 = 4v \cdot w^2 + y^2 = 10^{2k+1} w^2 + у^2$ «состоит» из $w^2$ и $y^2$ и будет особым, если выполнены неравенства $0 < у^2 < 10^{2k+1}$ и $10^2k \leq w^2 < 10^{2k+1}$.
Поскольку $w - 1 < \sqrt{v}$ и $(w - 1)^2 \leq v - 1$, то $у < 2 \sqrt v$ и $y^2 < 4y = 10^{2k +1}$; далее, $10^{2k} < v < w^2 = v + у < v + 2 \sqrt {v} < 3v < 10^{2k+1}$.
В частности, с помощью компьютера можно найти, при $k = 7$, число
$z = 25 \cdot 10^{13} + 15811389^2 = 500000022109321$,
квадрат которого - 30-значное особое число. Полнее исследование в задаче о $(4k + 2)$-значных особых числах, связанное с десятичным разложением числа $\sqrt{10}$, представляется довольно безнадежным и не слишком интересным.