Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3763
2019-06-16 
За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает все свое молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и так далее. После того, как последний, седьмой гном разлил всем остальным свое молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе молока 3 литра. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?
Решение:
Проверить, что указанные числа служат ответом, не составляет труда: после разливания молока первым гномом (по 1/7 каждому из остальных) получается точно то же распределение, но со сдвигом на одного гнома, а сумма $\frac{1 + 2 + 3 + \cdots +6}{7}$ равна как раз 3. Нужно еще доказать, что других ответов нет. Предположим, что это не так.
Пусть $x$ - наибольшее количество молока, оказавшееся за все время переливаний у какого-либо гнома $Г$, когда пришла его очередь разливать. Тогда после очередного цикла из 7 «разливаний» (их можно неограниченно продолжать, так что $Г$ можно считать первым в цикле) у $Г$ накопится не более чем $\frac{ 6 \cdot x}{6} = x$ литров; причем равенство возможно, лишь если каждый из 6 других гномов наливает $Г$ ровно по $\frac{x}{6}$ литров. Таким образом, из условия следует, что каждый гном разливает одно и то же количество $х$ молока и после получения $k$ порций у него в кружке налито $\frac{kх}{6}$ литров ($k = 1, 2, \cdots, 6$); значение $х$ находится из условия, что суммарное количество молока - 3 литра.
Эта задача, формулировка которой напоминает очаровательных героев диснеевского фильма «Белоснежка и семь гномов», была признана читателями «Кванта» одной из лучших задач года. Ответ здесь угадать нетрудно - естественно предположить, что за одно переливание распределение молока претерпевает лишь сдвиг на одного гнома. Но этого, конечно, недостаточно - нужно еще доказать единственность решения (это можно сделать многими разными способами).
Ответ: $\frac{6}{7}, \frac{5}{7}, \frac{4}{7}, \frac{3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7}, 0$ литров.
За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает все свое молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и так далее. После того, как последний, седьмой гном разлил всем остальным свое молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе молока 3 литра. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?
Решение:
Проверить, что указанные числа служат ответом, не составляет труда: после разливания молока первым гномом (по 1/7 каждому из остальных) получается точно то же распределение, но со сдвигом на одного гнома, а сумма $\frac{1 + 2 + 3 + \cdots +6}{7}$ равна как раз 3. Нужно еще доказать, что других ответов нет. Предположим, что это не так.
Пусть $x$ - наибольшее количество молока, оказавшееся за все время переливаний у какого-либо гнома $Г$, когда пришла его очередь разливать. Тогда после очередного цикла из 7 «разливаний» (их можно неограниченно продолжать, так что $Г$ можно считать первым в цикле) у $Г$ накопится не более чем $\frac{ 6 \cdot x}{6} = x$ литров; причем равенство возможно, лишь если каждый из 6 других гномов наливает $Г$ ровно по $\frac{x}{6}$ литров. Таким образом, из условия следует, что каждый гном разливает одно и то же количество $х$ молока и после получения $k$ порций у него в кружке налито $\frac{kх}{6}$ литров ($k = 1, 2, \cdots, 6$); значение $х$ находится из условия, что суммарное количество молока - 3 литра.
Эта задача, формулировка которой напоминает очаровательных героев диснеевского фильма «Белоснежка и семь гномов», была признана читателями «Кванта» одной из лучших задач года. Ответ здесь угадать нетрудно - естественно предположить, что за одно переливание распределение молока претерпевает лишь сдвиг на одного гнома. Но этого, конечно, недостаточно - нужно еще доказать единственность решения (это можно сделать многими разными способами).
Ответ: $\frac{6}{7}, \frac{5}{7}, \frac{4}{7}, \frac{3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7}, 0$ литров.
