Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3761
2019-06-16 
В каждой вершине выпуклого многогранника $M$ сходится 3 ребра. Известно, что каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Докажите, что вокруг этого многогранника можно описать сферу.
Решение:
Две окружности, в которые вписаны грани, примыкающие к ребру $AB$ многогранника, однозначно определяют сферу $\sigma$, на которой лежат эти окружности и, тем самым, все вершины этих двух граней. Если $BC$ и $BD$ - другие два ребра, выходящие из $B$, то окружность, содержащая точки $B, C, D$ (описанная вокруг содержащей их грани), также принадлежит $\sigma$, так что вершины граней, примыкающих к ребру $BC$, все лежат на той же $\sigma$. Теперь можно рассмотреть аналогично грани, примыкающие к ребру, выходящему из $C$, и так дойти до любой вершины многогранника - все они лежат на одной сфере $\sigma$: для любой из них можно построить цепочку ребер, оканчивающуюся в этой вершине и начинающуюся с ребра $AB$.
В каждой вершине выпуклого многогранника $M$ сходится 3 ребра. Известно, что каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Докажите, что вокруг этого многогранника можно описать сферу.
Решение:
Две окружности, в которые вписаны грани, примыкающие к ребру $AB$ многогранника, однозначно определяют сферу $\sigma$, на которой лежат эти окружности и, тем самым, все вершины этих двух граней. Если $BC$ и $BD$ - другие два ребра, выходящие из $B$, то окружность, содержащая точки $B, C, D$ (описанная вокруг содержащей их грани), также принадлежит $\sigma$, так что вершины граней, примыкающих к ребру $BC$, все лежат на той же $\sigma$. Теперь можно рассмотреть аналогично грани, примыкающие к ребру, выходящему из $C$, и так дойти до любой вершины многогранника - все они лежат на одной сфере $\sigma$: для любой из них можно построить цепочку ребер, оканчивающуюся в этой вершине и начинающуюся с ребра $AB$.
