Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3759
2019-06-16 
Дана бесконечная числовая последовательность $\{a_n \}$. Известно, что $lim_{n \rightarrow \infty} \left ( a_{n+1} - \frac{a_n}{2} \right ) = 0$. Докажите, что $lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$.
Решение:
Воспользуемся определением предела последовательности. Если для всех $n \geq N$ и некоторого $k$ верны неравенства
$\left |a_n - \frac{a_{n+1}}{2} \right | < \epsilon$ и $\frac{ |a_N|}{2^k} < \epsilon$,
то при $m \geq N + k$ будет
$|a_m| < \frac{1}{2} |a_{m-1}| + \epsilon < \frac{1}{2^2} |a_{m-2}| + \frac{ \epsilon}{2} + \epsilon < \cdots < \frac{1}{2^{m - N}} |a_N| + \frac{ \epsilon}{2^{m - N + 1}} + \cdots + \frac{ \epsilon}{2^2} + \frac{ \epsilon}{2} + \epsilon < \frac{1}{2^k} |a_N| + 2 \epsilon < 3 \epsilon$.
Дана бесконечная числовая последовательность $\{a_n \}$. Известно, что $lim_{n \rightarrow \infty} \left ( a_{n+1} - \frac{a_n}{2} \right ) = 0$. Докажите, что $lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$.
Решение:
Воспользуемся определением предела последовательности. Если для всех $n \geq N$ и некоторого $k$ верны неравенства
$\left |a_n - \frac{a_{n+1}}{2} \right | < \epsilon$ и $\frac{ |a_N|}{2^k} < \epsilon$,
то при $m \geq N + k$ будет
$|a_m| < \frac{1}{2} |a_{m-1}| + \epsilon < \frac{1}{2^2} |a_{m-2}| + \frac{ \epsilon}{2} + \epsilon < \cdots < \frac{1}{2^{m - N}} |a_N| + \frac{ \epsilon}{2^{m - N + 1}} + \cdots + \frac{ \epsilon}{2^2} + \frac{ \epsilon}{2} + \epsilon < \frac{1}{2^k} |a_N| + 2 \epsilon < 3 \epsilon$.
