Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3757
2019-06-16 
На плоскости отмечено несколько точек, не лежащих на одной прямой, и около каждой написано число. Известно, что если прямая проходит через две или более отмеченных точек, то сумма всех чисел, написанных около этих точек, равна нулю. Докажите, что все числа равны нулю.
Решение:
Пусть в отмеченной точке $X$ написано число $a_x$ и через нее проходит $n_x > 1$ прямых, содержащих другие отмеченные точки. Сумма чисел на каждой из них по условию равна 0. Общая сумма чисел на всех $n_x$ прямых (в которой $a_x$ участвует $n_x$ раз) равна $s + (n_x - 1) a_x = 0$, где $s$ - сумма всех чисел, написанных возле отмеченных точек. Предположение $s \neq 0$ приводит к явному противоречию: для каждой точки $X$ знак числа $a_x$ противоположен знаку суммы $s$ этих чисел; поэтому $s = 0$ и $a_x = 0$ для всех $X$.
На плоскости отмечено несколько точек, не лежащих на одной прямой, и около каждой написано число. Известно, что если прямая проходит через две или более отмеченных точек, то сумма всех чисел, написанных около этих точек, равна нулю. Докажите, что все числа равны нулю.
Решение:
Пусть в отмеченной точке $X$ написано число $a_x$ и через нее проходит $n_x > 1$ прямых, содержащих другие отмеченные точки. Сумма чисел на каждой из них по условию равна 0. Общая сумма чисел на всех $n_x$ прямых (в которой $a_x$ участвует $n_x$ раз) равна $s + (n_x - 1) a_x = 0$, где $s$ - сумма всех чисел, написанных возле отмеченных точек. Предположение $s \neq 0$ приводит к явному противоречию: для каждой точки $X$ знак числа $a_x$ противоположен знаку суммы $s$ этих чисел; поэтому $s = 0$ и $a_x = 0$ для всех $X$.
