Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3756
2019-06-16 
На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовем пару несоседних звеньев особенной, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особенных пар четно.
Решение:
Прямая, проходящая по некоторому звену $BC$ ломаной, пересекает четное или нечетное число других звеньев в зависимости от того, лежат ли соседние звенья $AB$ и $CD$ по одну или по разные стороны от прямой $BC$ (в последнем случае звено $BC$ будем называть «зигзагом»); в самом деле, четность числа пересечений ломаной с прямой $BC$ определяется тем, в одной или в разных полуплоскостях от нее расположены точки $A$ и $D$ (рис. а). Но на каждой замкнутой ломаной четное число «зигзагов»: пройдя по этой ломаной и отметив, в какую сторону - влево или вправо - мы поворачиваем в каждой вершине, мы одинаковое количество раз меняем направление поворота слева направо и справа налево. Из этих двух фактов вытекает утверждение задачи.
Еще более короткое доказательство получается, если использовать тот факт, что стороны угла, получающегося при продолжении каждых двух соседних звеньев $AB$ и $BC$ за точку $В$, ломаная пересекает четное число раз (рис. б).
На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовем пару несоседних звеньев особенной, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особенных пар четно.
Решение:
Прямая, проходящая по некоторому звену $BC$ ломаной, пересекает четное или нечетное число других звеньев в зависимости от того, лежат ли соседние звенья $AB$ и $CD$ по одну или по разные стороны от прямой $BC$ (в последнем случае звено $BC$ будем называть «зигзагом»); в самом деле, четность числа пересечений ломаной с прямой $BC$ определяется тем, в одной или в разных полуплоскостях от нее расположены точки $A$ и $D$ (рис. а). Но на каждой замкнутой ломаной четное число «зигзагов»: пройдя по этой ломаной и отметив, в какую сторону - влево или вправо - мы поворачиваем в каждой вершине, мы одинаковое количество раз меняем направление поворота слева направо и справа налево. Из этих двух фактов вытекает утверждение задачи.
Еще более короткое доказательство получается, если использовать тот факт, что стороны угла, получающегося при продолжении каждых двух соседних звеньев $AB$ и $BC$ за точку $В$, ломаная пересекает четное число раз (рис. б).
