Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3755
2019-06-16 
На сфере радиуса 1 проведена окружность большого круга, которую мы будем называть экватором. Нам будет удобно использовать и другие географические термины: полюс, меридиан, параллель.
а) Зададим на этой сфере функцию $f$, ставящую в соответствие каждой точке сферы квадрат расстояния от этой точки до плоскости экватора.
Проверьте, что эта функция обладает следующим свойством:
(*) если $M_1 M_2, M_3$ - концы трех взаимно перпендикулярных радиусов сферы, то $f(M_1) + f(M_2) + f(M_3) = 1$.
Во всех следующих пунктах $f$ - произвольная неотрицательная функция на сфере, которая обращается в 0 во всех точках экватора и обладает свойством (*).
б) Пусть $M$ и $N$ - точки одного меридиана, расположенные между северным полюсом и экватором. Докажите, что если точка $M$ дальше от плоскости экватора, чем точка $N$, то $f(M) > f(N)$.
в) Пусть $M$ и $N$ - произвольные точки сферы. Докажите, что если точка $M$ дальше от плоскости экватора, чем $N$, то $f(M) > f(N)$.
г) Докажите, что если точки $M$ и $N$ лежат на одной параллели, то $f(M) = f(N)$.
д) Докажите, что функция $f$ совпадает с функцией, описанной в пункте а).
Решение:
Мы будем рассматривать лишь точки одного «северного» полушария с полюсом $P$ (значения функции $f$ в диаметрально противоположных точках одинаковы). Полюс $P$ мы считаем самой высокой точкой сферы. Очевидно, $f(P)= 1, 0 < f(M)< 1$ для всех других точек $M$ сферы.
а) пусть $O$ - центр сферы. Расстояние $c_M$ от точки $M$ до экваториальной плоскости равно косинусу угла $MOP$, так что
$f(M) = c^2_M = \cos^2 \gamma, \gamma = \angle MOP$.
Если $c_1, c_2, c_3$ - косинусы углов, образуемых с $OP$ тремя взаимно перпендикулярными радиусами $OM_1, OM_2, OM_3$, то $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2$, поскольку $c_1, c_2, c_3$ - это длины проекций единичного отрезка $OP$ на три взаимно перпендикулярные прямые (можно построить прямоугольный параллелепипед с ребрами $c_1, c_2, c_3$ и диагональю $OP = 1$).
Решение задач б) и в) опирается на такое следствие условия (*).
Пусть $Г_x$ - половина большого круга (отличная от экватора и меридиана), с концами на экваторе, для которой $X$ является самой высокой точкой. Тогда для любой точки $Y$ дуги $Г_X$, отличной от $X, f(Y) < f(X)$. В самом деле,
$f(Y) + f(Y^{ \prime}) + f(Q) = f(X) + 0 + f(Q) = 1$,
где $Y^{ \prime}$ - точка дуги $Г_X$, для которой $\angle YOY^{ \prime} = 90^{\circ}$, a $Q$ - конец радиуса, перпендикулярного плоскости $Г_X$.
б) Через каждую точку $X$ дуги $Г_M$ мы можем провести свою дугу $Г_X$ и выбрать из них такую $Г_Y$, которая содержит $N$. Тогда $f(M) > f(Y) > f(N)$.
в) Аналогично предыдущему для любой пары точек $M$ и $N$ (где $M$ выше $N$) можно построить цепочку $М = X_0, x_1, x_2, \cdots, X_r = N$ так, что $X_j$ лежит на $Г_{X_{j-1}}$ для $j = 1, 2, \cdots, r$ (если $М$ и $N$ близки по широте, но сильно различаются по долготе, то придется сделать большое число $r$ шагов).
г) Если для двух точек $M$ и $N$, лежащих на одной параллели $П$ на расстоянии $c_1$ от экваториальной плоскости, $f(M) - f(N) = \epsilon > 0$, то для любых двух точек $M^{ \prime}, N^{ \prime}$,где $М^{ \prime}$ выше $c_1$, a $N^{ \prime}$ ниже $c_1$ будет
$f (M^{ \prime}) - f (N^{ \prime}) \geq f (M) - f (N) = \epsilon$,
т. е. на высоте $c_1$ функция $f$ совершает «скачок» величины $\epsilon$. Из (*) следует, что тогда для любой пары чисел $c_2 > c_3 \geq 0$ такой, что $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 1$, функция $f$ должна совершать скачок величины не менее $\epsilon /2$ либо на высоте $c_2$ либо на высоте $c_3$. Взяв более $[2/\epsilon]$ таких пар $(c_2, c_3)$, мы придем к противоречию с условием $0 \leq f \leq 1$.
д) Из предыдущих пунктов следует, что функция $f(M)$ равна $g (c_M^2)$, где $c_M$ - расстояние точки $M$ от экваториальной плоскости, $у = g(x)$ - некоторая монотонно возрастающая функция на отрезке $0 \leq x \leq j$, удовлетворяющая условиям: $g(0) = 0, g(1) = 1$ и
$g(x_i) + g (x_2) + g (x_3) = 1$, если $x_1 + x_2 + x_3 = 1$.
Но единственная функция, удовлетворяющая этому функциональному уравнению и условию «нормировки» $g(x_3) = l - g (1 - x_3)$, поэтому для любых $x_1, x_2$ $g(x_1) + g(x_2) = 1 - g (1 - x_1 - x_2) = g (x_1 + x_2)$. Но единственна функция, удовлетворяющая этому функциональному уравнению и условно "нормировки" $g(1) = 1$, - это $g(x) = x$. Этот факт доказывается сначала для рациональных $x (x = 1/n$, затем $x = k/n$), а потом из монотонности - для всех $x$.
На сфере радиуса 1 проведена окружность большого круга, которую мы будем называть экватором. Нам будет удобно использовать и другие географические термины: полюс, меридиан, параллель.
а) Зададим на этой сфере функцию $f$, ставящую в соответствие каждой точке сферы квадрат расстояния от этой точки до плоскости экватора.
Проверьте, что эта функция обладает следующим свойством:
(*) если $M_1 M_2, M_3$ - концы трех взаимно перпендикулярных радиусов сферы, то $f(M_1) + f(M_2) + f(M_3) = 1$.
Во всех следующих пунктах $f$ - произвольная неотрицательная функция на сфере, которая обращается в 0 во всех точках экватора и обладает свойством (*).
б) Пусть $M$ и $N$ - точки одного меридиана, расположенные между северным полюсом и экватором. Докажите, что если точка $M$ дальше от плоскости экватора, чем точка $N$, то $f(M) > f(N)$.
в) Пусть $M$ и $N$ - произвольные точки сферы. Докажите, что если точка $M$ дальше от плоскости экватора, чем $N$, то $f(M) > f(N)$.
г) Докажите, что если точки $M$ и $N$ лежат на одной параллели, то $f(M) = f(N)$.
д) Докажите, что функция $f$ совпадает с функцией, описанной в пункте а).
Решение:
Мы будем рассматривать лишь точки одного «северного» полушария с полюсом $P$ (значения функции $f$ в диаметрально противоположных точках одинаковы). Полюс $P$ мы считаем самой высокой точкой сферы. Очевидно, $f(P)= 1, 0 < f(M)< 1$ для всех других точек $M$ сферы.
а) пусть $O$ - центр сферы. Расстояние $c_M$ от точки $M$ до экваториальной плоскости равно косинусу угла $MOP$, так что
$f(M) = c^2_M = \cos^2 \gamma, \gamma = \angle MOP$.
Если $c_1, c_2, c_3$ - косинусы углов, образуемых с $OP$ тремя взаимно перпендикулярными радиусами $OM_1, OM_2, OM_3$, то $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2$, поскольку $c_1, c_2, c_3$ - это длины проекций единичного отрезка $OP$ на три взаимно перпендикулярные прямые (можно построить прямоугольный параллелепипед с ребрами $c_1, c_2, c_3$ и диагональю $OP = 1$).
Решение задач б) и в) опирается на такое следствие условия (*).
Пусть $Г_x$ - половина большого круга (отличная от экватора и меридиана), с концами на экваторе, для которой $X$ является самой высокой точкой. Тогда для любой точки $Y$ дуги $Г_X$, отличной от $X, f(Y) < f(X)$. В самом деле,
$f(Y) + f(Y^{ \prime}) + f(Q) = f(X) + 0 + f(Q) = 1$,
где $Y^{ \prime}$ - точка дуги $Г_X$, для которой $\angle YOY^{ \prime} = 90^{\circ}$, a $Q$ - конец радиуса, перпендикулярного плоскости $Г_X$.
б) Через каждую точку $X$ дуги $Г_M$ мы можем провести свою дугу $Г_X$ и выбрать из них такую $Г_Y$, которая содержит $N$. Тогда $f(M) > f(Y) > f(N)$.
в) Аналогично предыдущему для любой пары точек $M$ и $N$ (где $M$ выше $N$) можно построить цепочку $М = X_0, x_1, x_2, \cdots, X_r = N$ так, что $X_j$ лежит на $Г_{X_{j-1}}$ для $j = 1, 2, \cdots, r$ (если $М$ и $N$ близки по широте, но сильно различаются по долготе, то придется сделать большое число $r$ шагов).
г) Если для двух точек $M$ и $N$, лежащих на одной параллели $П$ на расстоянии $c_1$ от экваториальной плоскости, $f(M) - f(N) = \epsilon > 0$, то для любых двух точек $M^{ \prime}, N^{ \prime}$,где $М^{ \prime}$ выше $c_1$, a $N^{ \prime}$ ниже $c_1$ будет
$f (M^{ \prime}) - f (N^{ \prime}) \geq f (M) - f (N) = \epsilon$,
т. е. на высоте $c_1$ функция $f$ совершает «скачок» величины $\epsilon$. Из (*) следует, что тогда для любой пары чисел $c_2 > c_3 \geq 0$ такой, что $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 1$, функция $f$ должна совершать скачок величины не менее $\epsilon /2$ либо на высоте $c_2$ либо на высоте $c_3$. Взяв более $[2/\epsilon]$ таких пар $(c_2, c_3)$, мы придем к противоречию с условием $0 \leq f \leq 1$.
д) Из предыдущих пунктов следует, что функция $f(M)$ равна $g (c_M^2)$, где $c_M$ - расстояние точки $M$ от экваториальной плоскости, $у = g(x)$ - некоторая монотонно возрастающая функция на отрезке $0 \leq x \leq j$, удовлетворяющая условиям: $g(0) = 0, g(1) = 1$ и
$g(x_i) + g (x_2) + g (x_3) = 1$, если $x_1 + x_2 + x_3 = 1$.
Но единственная функция, удовлетворяющая этому функциональному уравнению и условию «нормировки» $g(x_3) = l - g (1 - x_3)$, поэтому для любых $x_1, x_2$ $g(x_1) + g(x_2) = 1 - g (1 - x_1 - x_2) = g (x_1 + x_2)$. Но единственна функция, удовлетворяющая этому функциональному уравнению и условно "нормировки" $g(1) = 1$, - это $g(x) = x$. Этот факт доказывается сначала для рациональных $x (x = 1/n$, затем $x = k/n$), а потом из монотонности - для всех $x$.
