Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3751
2019-06-16 
Будем называть треугольник «большим», если длины всех его сторон больше 1. Дан правильный треугольник $ABC$ со стороной длины 5. Докажите, что:
а) из треугольника $ABC$ можно вырезать 100 «больших» треугольников;
б) треугольник $ABC$ можно целиком разрезать не менее чем на 100 «больших» треугольников.
в) треугольник $ABC$ можно разрезать не менее чем на 100 «больших» треугольников, соблюдая следующее условие: любые два «больших» треугольника либо не пересекаются, либо имеют ровно одну общую вершину, либо сторона одного из них является стороной другого. (Такое разрезание называется триангуляцией.)
г) решите задачи б) и в) для правильного треугольника со стороной длины 3.
Решение:
На рис. указан путь построения разбиений, удовлетворяющих сразу самым сильным условиям б), в) и г) для правильного треугольника со стороной 3: при переходе от левого рисунка к правому каждая из точек $M_2, M_3, \cdots$ и $N_1, N_2, N_3, \cdots$ слегка отодвигается вниз, образуя дополнительные очень узкие треугольники $AM_kN_k, BN_kM_{k+1}; k = 1, 2, \cdots$.
Будем называть треугольник «большим», если длины всех его сторон больше 1. Дан правильный треугольник $ABC$ со стороной длины 5. Докажите, что:
а) из треугольника $ABC$ можно вырезать 100 «больших» треугольников;
б) треугольник $ABC$ можно целиком разрезать не менее чем на 100 «больших» треугольников.
в) треугольник $ABC$ можно разрезать не менее чем на 100 «больших» треугольников, соблюдая следующее условие: любые два «больших» треугольника либо не пересекаются, либо имеют ровно одну общую вершину, либо сторона одного из них является стороной другого. (Такое разрезание называется триангуляцией.)
г) решите задачи б) и в) для правильного треугольника со стороной длины 3.
Решение:
На рис. указан путь построения разбиений, удовлетворяющих сразу самым сильным условиям б), в) и г) для правильного треугольника со стороной 3: при переходе от левого рисунка к правому каждая из точек $M_2, M_3, \cdots$ и $N_1, N_2, N_3, \cdots$ слегка отодвигается вниз, образуя дополнительные очень узкие треугольники $AM_kN_k, BN_kM_{k+1}; k = 1, 2, \cdots$.
