Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3746
2019-06-16 
На плоскости даны векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$, сумма которых равна 0. Докажите неравенство
$| \vec{a} | + | \vec{b}| + | \vec{c}| + | \vec{d}| \geq | \vec{a} + \vec{d}| + | \vec{b} + \vec{d}| + | \vec{c} + \vec{d}|$.
Решение:
Правая часть неравенства, так же как и левая, симметрична относительно $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ и $\vec{d}$ (при условии, что их сумма равна 0); поскольку $\vec{b} + \vec{c} = -( \vec{a} + \vec{d})$ и т. д., она равна полусумме длин всех попарных сумм данных векторов. Учитывая это, можем для данной четверки векторов с суммой 0 выбрать обозначения так, чтобы ломаная, составленная из векторов $\vec {AB} = \vec{a}, \vec {BC} = \vec{b}, \vec {CD} = \vec{c}, \vec {DA} = \vec{d}$, была самопересекающейся. Для этого достаточно, чтобы векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, отложенные от одной точки $O$, лежали в одной полуплоскости, причем $\vec{a}$ и $\vec{c}$ лежали по одну сторону от прямой, преходящей через $O$ а параллельной $\vec{b}$. Тогда
$| \vec{a} + \vec{d}| + | \vec{c} + \vec{d}| = BD + AC \leq | \vec{b} | + | \vec{d}|$,
и остается добавить к этому
$| \vec{b} + \vec{d} | = | \vec{a} + \vec{c}| \leq | \vec{a}| + | \vec{c}|$.
Другое решение, основанное на идее усреднения проекций векторов по всевозможным направлениям, позволяет свести двумерный и даже трехмерный вариант этой задачи к доказательству аналогичного неравенства для чисел, т. е, к одномерному варианту.
На плоскости даны векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$, сумма которых равна 0. Докажите неравенство
$| \vec{a} | + | \vec{b}| + | \vec{c}| + | \vec{d}| \geq | \vec{a} + \vec{d}| + | \vec{b} + \vec{d}| + | \vec{c} + \vec{d}|$.
Решение:
Правая часть неравенства, так же как и левая, симметрична относительно $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ и $\vec{d}$ (при условии, что их сумма равна 0); поскольку $\vec{b} + \vec{c} = -( \vec{a} + \vec{d})$ и т. д., она равна полусумме длин всех попарных сумм данных векторов. Учитывая это, можем для данной четверки векторов с суммой 0 выбрать обозначения так, чтобы ломаная, составленная из векторов $\vec {AB} = \vec{a}, \vec {BC} = \vec{b}, \vec {CD} = \vec{c}, \vec {DA} = \vec{d}$, была самопересекающейся. Для этого достаточно, чтобы векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, отложенные от одной точки $O$, лежали в одной полуплоскости, причем $\vec{a}$ и $\vec{c}$ лежали по одну сторону от прямой, преходящей через $O$ а параллельной $\vec{b}$. Тогда
$| \vec{a} + \vec{d}| + | \vec{c} + \vec{d}| = BD + AC \leq | \vec{b} | + | \vec{d}|$,
и остается добавить к этому
$| \vec{b} + \vec{d} | = | \vec{a} + \vec{c}| \leq | \vec{a}| + | \vec{c}|$.
Другое решение, основанное на идее усреднения проекций векторов по всевозможным направлениям, позволяет свести двумерный и даже трехмерный вариант этой задачи к доказательству аналогичного неравенства для чисел, т. е, к одномерному варианту.
