Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3744
2019-06-16 
Натуральные числа $x_1, x_2$ меньше 10000. Исходя из них строится последовательность $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$, где число $x_3$ равно $|x_1 - x_2|$, число $x_4$ равно наименьшему из чисел $|x_1 - x_2|, |x_2 - x_3|, |x_1 - x_3|$, число $x_5$ равно наименьшему из чисел $|x_1 - x_2|, |x_1 - x_3|, |x_1 - x_4|, |x_2 - x_3|, |x_2 - x_4|,|x_3 - x_4|$ и так далее (каждое следующее число равно наименьшей из абсолютных величин разностей между предыдущими числами). Докажите, что обязательно $x_{21} = 0$.
Решение:
Если переставить три первых числа в порядке убывания, то для всех членов последовательности будет выполняться условие $x_k \leq x_{k-r} - x_{k-1}$, а последовательность станет убывающей: $x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq \cdots x_{21}$. Если предположить, что $x_21 \geq 1$, то из $x_{k-2} \geq x_k + x_{k-1}$ следовало бы $x_{20} \geq 1, x_{19} \geq 2, x_{18} \geq 3, x_{17} \geq 5, \cdots$. Остается только написать 21 член «последовательности Фибоначчи»
$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \cdots, 6745, 10916$,
чтобы получить противоречие: $x_1 > 10000$.
Натуральные числа $x_1, x_2$ меньше 10000. Исходя из них строится последовательность $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$, где число $x_3$ равно $|x_1 - x_2|$, число $x_4$ равно наименьшему из чисел $|x_1 - x_2|, |x_2 - x_3|, |x_1 - x_3|$, число $x_5$ равно наименьшему из чисел $|x_1 - x_2|, |x_1 - x_3|, |x_1 - x_4|, |x_2 - x_3|, |x_2 - x_4|,|x_3 - x_4|$ и так далее (каждое следующее число равно наименьшей из абсолютных величин разностей между предыдущими числами). Докажите, что обязательно $x_{21} = 0$.
Решение:
Если переставить три первых числа в порядке убывания, то для всех членов последовательности будет выполняться условие $x_k \leq x_{k-r} - x_{k-1}$, а последовательность станет убывающей: $x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq \cdots x_{21}$. Если предположить, что $x_21 \geq 1$, то из $x_{k-2} \geq x_k + x_{k-1}$ следовало бы $x_{20} \geq 1, x_{19} \geq 2, x_{18} \geq 3, x_{17} \geq 5, \cdots$. Остается только написать 21 член «последовательности Фибоначчи»
$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \cdots, 6745, 10916$,
чтобы получить противоречие: $x_1 > 10000$.
