Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3743
2019-06-16 
На плоскости даны три окружности одинакового радиуса.
а) Докажите, что если все они пересекаются в одной точке, как показано на рис., а, то сумма отмеченных дуг $AK, CK, EK$ равна $180^{\circ}$.
б) Докажите, что если они расположены так, как доказано на рис.б, то сумма отмеченных дуг $AB, CD, EF$ равна $180^{\circ}$.
Решение:
Задача а) - вырожденный частный случай б) и решается аналогично. Укажем идею решения задачи б).
Пусть $O_1, O_2, O_3$ - центры окружностей, содержащих дуги $\breve{AB}, \breve{CD}, \breve{EF}$ соответственно (рис. а). Тогда $\vec {O_1A} = - \vec {O_2D}, \vec {O_1B} = - \vec {O_3E}, \vec {O_3F} = - \vec {O_2C}$ (как противоположные стороны ромбов). Поэтому, перенеся секторы $O_1AB, O_3EF$ и $O_2CD$ к общему центру $O$, мы получим три сектора, которые вместе с симметричными им относительно точки $O$ дают полный круг (рис.б).
На плоскости даны три окружности одинакового радиуса.
а) Докажите, что если все они пересекаются в одной точке, как показано на рис., а, то сумма отмеченных дуг $AK, CK, EK$ равна $180^{\circ}$.
б) Докажите, что если они расположены так, как доказано на рис.б, то сумма отмеченных дуг $AB, CD, EF$ равна $180^{\circ}$.
Решение:
Задача а) - вырожденный частный случай б) и решается аналогично. Укажем идею решения задачи б).
Пусть $O_1, O_2, O_3$ - центры окружностей, содержащих дуги $\breve{AB}, \breve{CD}, \breve{EF}$ соответственно (рис. а). Тогда $\vec {O_1A} = - \vec {O_2D}, \vec {O_1B} = - \vec {O_3E}, \vec {O_3F} = - \vec {O_2C}$ (как противоположные стороны ромбов). Поэтому, перенеся секторы $O_1AB, O_3EF$ и $O_2CD$ к общему центру $O$, мы получим три сектора, которые вместе с симметричными им относительно точки $O$ дают полный круг (рис.б).
