Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3741
2019-06-16 
На столе лежат 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше суммы расстояний от центра стола до центров часов.
Решение:
Идею решения можно высказать одной фразой: сумма расстояний до концов стрелок в среднем (по времени) больше, чем сумма расстояний до центров часов. Доказательство можно провести так.
Рассмотрим суммы $s_i$ и $s_2$ расстояний от центра стола $O$ до концов минутных стрелок в два момента времени, отстоящие на 30 минут. Величина $s_1$ + $s_2$ больше $2s_0$, где $s_0$ - сумма расстояний от $O$ до центров часов, потому что у каждого треугольника $OM_1M_2$ сумма длин двух сторон $OM_1$ и $OM_2$ больше удвоенной длины медианы, расположенной между ними (рис.), Поэтому хотя бы одно из чисел $s_1$, или $s_2$ больше $s_0$.
На столе лежат 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше суммы расстояний от центра стола до центров часов.
Решение:
Идею решения можно высказать одной фразой: сумма расстояний до концов стрелок в среднем (по времени) больше, чем сумма расстояний до центров часов. Доказательство можно провести так.
Рассмотрим суммы $s_i$ и $s_2$ расстояний от центра стола $O$ до концов минутных стрелок в два момента времени, отстоящие на 30 минут. Величина $s_1$ + $s_2$ больше $2s_0$, где $s_0$ - сумма расстояний от $O$ до центров часов, потому что у каждого треугольника $OM_1M_2$ сумма длин двух сторон $OM_1$ и $OM_2$ больше удвоенной длины медианы, расположенной между ними (рис.), Поэтому хотя бы одно из чисел $s_1$, или $s_2$ больше $s_0$.
