Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3737
2019-06-16 
Для каких натуральных $k$ можно составить куб размерами $k \times k \times k$ из белых и черных кубиков $1 \times 1 \times 1$ так, чтобы для любого кубика ровно два из его соседей имели тот же цвет, что и он сам? (Два кубика считаются соседними, если они имеют общую грань.)
Решение:
Для четного $k$ легко построить пример: можно изготовить куб из чередующихся черных и белых блоков $2 \times 2 \times 1$.
Предположим теперь, что нам удалось составить нужный куб при нечетном $k$. Соединим отрезками центры соседних белых кубиков. Из каждого центра выходят 2 отрезка. Такая система отрезков образует одну или несколько замкнутых ломаных. Заметим, что число звеньев у замкнутой ломаной, составленной из отрезков одинаковой длины и трех попарно перпендикулярных направлений, четно (четно даже число звеньев каждого из направлений). Таким образом, число белых кубиков четно. Так же доказывается четность числа черных кубиков. Противоречие.
Ответ: при четном $k$ можно, при нечетном - нельзя.
Для каких натуральных $k$ можно составить куб размерами $k \times k \times k$ из белых и черных кубиков $1 \times 1 \times 1$ так, чтобы для любого кубика ровно два из его соседей имели тот же цвет, что и он сам? (Два кубика считаются соседними, если они имеют общую грань.)
Решение:
Для четного $k$ легко построить пример: можно изготовить куб из чередующихся черных и белых блоков $2 \times 2 \times 1$.
Предположим теперь, что нам удалось составить нужный куб при нечетном $k$. Соединим отрезками центры соседних белых кубиков. Из каждого центра выходят 2 отрезка. Такая система отрезков образует одну или несколько замкнутых ломаных. Заметим, что число звеньев у замкнутой ломаной, составленной из отрезков одинаковой длины и трех попарно перпендикулярных направлений, четно (четно даже число звеньев каждого из направлений). Таким образом, число белых кубиков четно. Так же доказывается четность числа черных кубиков. Противоречие.
Ответ: при четном $k$ можно, при нечетном - нельзя.
