Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3735
2019-06-16 
На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и вписать вместо них цифру, отличную от стертых (вместо 0 и 1 - цифру 2, вместо 1 и 2 - 0, вместо 0 и 2 - 1). Докажите, что если в результате таких операций на доске останется одно число, то оно не зависит от порядка, в котором производились стирания.
Решение:
Пусть $p$ - число нулей, $q$ - число единиц, $r$ - число двоек. После каждой операции все три числа $p, q$ и $r$ изменяются на 1, тем самым меняют четность. Когда на доске останется одна цифра, одно из чисел $p, q$ и $r$ станет равно 1, два другие - 0. Следовательно, вначале четность одного из этих чисел была отлична от четности двух других. Соответствующая цифра и останется на доске.
На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и вписать вместо них цифру, отличную от стертых (вместо 0 и 1 - цифру 2, вместо 1 и 2 - 0, вместо 0 и 2 - 1). Докажите, что если в результате таких операций на доске останется одно число, то оно не зависит от порядка, в котором производились стирания.
Решение:
Пусть $p$ - число нулей, $q$ - число единиц, $r$ - число двоек. После каждой операции все три числа $p, q$ и $r$ изменяются на 1, тем самым меняют четность. Когда на доске останется одна цифра, одно из чисел $p, q$ и $r$ станет равно 1, два другие - 0. Следовательно, вначале четность одного из этих чисел была отлична от четности двух других. Соответствующая цифра и останется на доске.
