Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3734
2019-06-16 
Три мухи ползают по сторонам треугольника $ABC$ так, что центр тяжести образуемого ими треугольника остается на одном месте. Докажите, что он совпадает с центром тяжести треугольника $ABC$, если известно, что одна из мух проползла по всей границе треугольника. (Центр тяжести треугольника - точка пересечения его медиан.)
Решение:
Если одна из мух находится в вершине $A$, то центр тяжести треугольника, образованного мухами, находится в треугольнике $ADE$ (рис.), где $DE : BC = 2 : 3$. Так как одна из мух побывала во всех вершинах, то центр тяжести «треугольника мух» должен принадлежать трем треугольникам, заштрихованным на рисунке. Единственная общая точка этих треугольников - центр тяжести данного.
Три мухи ползают по сторонам треугольника $ABC$ так, что центр тяжести образуемого ими треугольника остается на одном месте. Докажите, что он совпадает с центром тяжести треугольника $ABC$, если известно, что одна из мух проползла по всей границе треугольника. (Центр тяжести треугольника - точка пересечения его медиан.)
Решение:
Если одна из мух находится в вершине $A$, то центр тяжести треугольника, образованного мухами, находится в треугольнике $ADE$ (рис.), где $DE : BC = 2 : 3$. Так как одна из мух побывала во всех вершинах, то центр тяжести «треугольника мух» должен принадлежать трем треугольникам, заштрихованным на рисунке. Единственная общая точка этих треугольников - центр тяжести данного.
