Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3733
2019-06-16 
Докажите, что для положительных $a, b, c$ имеет место неравенство $a^3 + b^3 + c^3 + 3abc > ab(a + b) + bc(b + c) + ac (a + c)$.
Решение:
Без ограничения общности можно считать, что $a \geq b \geq c$. Тогда $c(a - c)(b - c) \geq 0$, откуда $c^3 + abc \geq ac^2 + bc^2$. Достаточно доказать, что $a^3 + b^3 + 2abc \geq ab (a + b) + a^2c + b^2 c$. Последнее неравенство преобразуется к виду $(a - b)^2 (a + b - c) \geq 0$.
Легко видеть, что равенство в данном неравенстве возможно лишь при $a = b = c$.
Докажите, что для положительных $a, b, c$ имеет место неравенство $a^3 + b^3 + c^3 + 3abc > ab(a + b) + bc(b + c) + ac (a + c)$.
Решение:
Без ограничения общности можно считать, что $a \geq b \geq c$. Тогда $c(a - c)(b - c) \geq 0$, откуда $c^3 + abc \geq ac^2 + bc^2$. Достаточно доказать, что $a^3 + b^3 + 2abc \geq ab (a + b) + a^2c + b^2 c$. Последнее неравенство преобразуется к виду $(a - b)^2 (a + b - c) \geq 0$.
Легко видеть, что равенство в данном неравенстве возможно лишь при $a = b = c$.
