Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3730
2019-06-16 
В выпуклом шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ середины диагоналей $A_6A_2$, $A_1A_3, A_2A_4, A_3A_5, A_4A_6, A_5A_1$ обозначим соответственно через $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$. Докажите, что если шестиугольник $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$ выпуклый, то его площадь в четыре раза меньше площади $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$.
Решение:
Площадь четырехугольника $B_1B_4B_5B_6$ (рис.) равна четверти площади четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$ поскольку диагонали его $B_1B_5$ и $B_4B_6$ параллельны диагоналям $A_2A_4$ и $A_1A_3$ и равны их половинам, а площадь выпуклого четырехугольника выражается формулой $S = \frac{d_1d_2 \sin \phi}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - длины его диагоналей, $\phi$ - угол между ними. Точно так же площадь $B_1B_2B_3B_4$ равна четверти площади $A_1A_4A_5A_6$.
В выпуклом шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ середины диагоналей $A_6A_2$, $A_1A_3, A_2A_4, A_3A_5, A_4A_6, A_5A_1$ обозначим соответственно через $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$. Докажите, что если шестиугольник $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$ выпуклый, то его площадь в четыре раза меньше площади $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$.
Решение:
Площадь четырехугольника $B_1B_4B_5B_6$ (рис.) равна четверти площади четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$ поскольку диагонали его $B_1B_5$ и $B_4B_6$ параллельны диагоналям $A_2A_4$ и $A_1A_3$ и равны их половинам, а площадь выпуклого четырехугольника выражается формулой $S = \frac{d_1d_2 \sin \phi}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - длины его диагоналей, $\phi$ - угол между ними. Точно так же площадь $B_1B_2B_3B_4$ равна четверти площади $A_1A_4A_5A_6$.
