Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3728
2019-06-16 
Какой наименьший периметр может иметь выпуклый 32-угольник, все вершины которого лежат в узлах клетчатой бумаги со стороной клетки 1?
Решение:
Контур 32-угольника $A_1A_2 + A_{32}$ мы представим как изображение суммы 32 векторов $\vec {A_1A_2} + \vec {A_2A_3} + \cdots + \vec {A_{32}A_1}$.
Так как из любых 32 различных по направлению векторов с суммой 0 можно составить выпуклый 32-угольник, задача сводится к следующей: найти 32 вектора, удовлетворяющих условиям:
а) начало и конец каждого вектора лежат в узлах клетчатой бумаги;
б) любые два вектора имеют разные направления;
в) сумма всех векторов равна 0;
г) при выполнении условий а)-в) сумма длин всех векторов минимальна.
Будем откладывать векторы от одной точки. Система 32 векторов, изображенная на рис., удовлетворяет всем условиям а)-г), Среди этих векторов четыре вектора длины 1 (их нет на рис.), четыре - $\sqrt{2}$ и по восемь векторов длины $\sqrt{5}, \sqrt{10}$ и $\sqrt{13}$.
Аналогичный прием «плотного заполнения уровней» - выбор и четверок различных целочисленных векторов наименьшей длины - позволяет сконструировать $4n$ - угольник минимального периметра с вершинами в узлах.
Ответ: $4 + 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{5} + 8 \sqrt{10} + 8 \sqrt{13}$.
Какой наименьший периметр может иметь выпуклый 32-угольник, все вершины которого лежат в узлах клетчатой бумаги со стороной клетки 1?
Решение:
Контур 32-угольника $A_1A_2 + A_{32}$ мы представим как изображение суммы 32 векторов $\vec {A_1A_2} + \vec {A_2A_3} + \cdots + \vec {A_{32}A_1}$.
Так как из любых 32 различных по направлению векторов с суммой 0 можно составить выпуклый 32-угольник, задача сводится к следующей: найти 32 вектора, удовлетворяющих условиям:
а) начало и конец каждого вектора лежат в узлах клетчатой бумаги;
б) любые два вектора имеют разные направления;
в) сумма всех векторов равна 0;
г) при выполнении условий а)-в) сумма длин всех векторов минимальна.
Будем откладывать векторы от одной точки. Система 32 векторов, изображенная на рис., удовлетворяет всем условиям а)-г), Среди этих векторов четыре вектора длины 1 (их нет на рис.), четыре - $\sqrt{2}$ и по восемь векторов длины $\sqrt{5}, \sqrt{10}$ и $\sqrt{13}$.
Аналогичный прием «плотного заполнения уровней» - выбор и четверок различных целочисленных векторов наименьшей длины - позволяет сконструировать $4n$ - угольник минимального периметра с вершинами в узлах.
Ответ: $4 + 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{5} + 8 \sqrt{10} + 8 \sqrt{13}$.
