Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3726
2019-06-16 
а) Из треугольника $ABC$ поворотом вокруг центра описанной окружности на некоторый угол, меньший $180^{\circ}$, получили треугольник $A_1B_1C_1$. Соответствующие друг другу при повороте отрезки $AB$ и $A_1B_1$ пересекаются в точке $C_2, BC$ и $B_1C_1$ - в точке $A_2, CA$ и $C_1A_1$ - в точке $B_2$. Докажите, что треугольники $A_2B_2C_2$ и $ABC$ подобны.
б) Из четырехугольника $ABCD$, вписанного в окружность, поворотом вокруг центра на некоторый угол, меньший $180^{\circ}$, получили четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$. Докажите, что точки пересечения соответствующих друг другу при повороте прямых: $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1, CD$ и $C_1D_1, DA$ и $D_1A_1$ служат вершинами параллелограмма.
Решение:
Если хорда $Q_1Q_2$ круга с центром $O$ получена из хорды $P_1P_2$ поворотом на угол а вокруг точки $O$, то точка пересечения $R$ прямых $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ может быть получена из середины $M$ хорды $P_1P_2$ поворотом с центром $O$ на угол $\frac{ \alpha}{2}$ (при этом точка $M$ перейдет в некоторую точку $M^{ \prime}$ на отрезке $OR$) и последующей гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{ \cos (\alpha/2)} = OR : OM = OR : OM^{ \prime}$. Применим эти соображения к решению задачи.
а) Треугольник $A_2B_2C_2$ получается описанными преобразованиями из треугольника $KLM$, образованного серединами сторон треугольника $ABC$. Поскольку $\triangle KLM \propto \triangle A_2B_2C_2$ и $\triangle KLM \propto \triangle ABC$, получаем $\triangle ABC \propto \triangle A_2B_2C_2$.
б) Четырехугольник из условия задачи получается преобразованием подобия из четырехугольника, образованного серединами сторон четырехугольника $ABCD$. Но середины любых сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
а) Из треугольника $ABC$ поворотом вокруг центра описанной окружности на некоторый угол, меньший $180^{\circ}$, получили треугольник $A_1B_1C_1$. Соответствующие друг другу при повороте отрезки $AB$ и $A_1B_1$ пересекаются в точке $C_2, BC$ и $B_1C_1$ - в точке $A_2, CA$ и $C_1A_1$ - в точке $B_2$. Докажите, что треугольники $A_2B_2C_2$ и $ABC$ подобны.
б) Из четырехугольника $ABCD$, вписанного в окружность, поворотом вокруг центра на некоторый угол, меньший $180^{\circ}$, получили четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$. Докажите, что точки пересечения соответствующих друг другу при повороте прямых: $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1, CD$ и $C_1D_1, DA$ и $D_1A_1$ служат вершинами параллелограмма.
Решение:
Если хорда $Q_1Q_2$ круга с центром $O$ получена из хорды $P_1P_2$ поворотом на угол а вокруг точки $O$, то точка пересечения $R$ прямых $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ может быть получена из середины $M$ хорды $P_1P_2$ поворотом с центром $O$ на угол $\frac{ \alpha}{2}$ (при этом точка $M$ перейдет в некоторую точку $M^{ \prime}$ на отрезке $OR$) и последующей гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{ \cos (\alpha/2)} = OR : OM = OR : OM^{ \prime}$. Применим эти соображения к решению задачи.
а) Треугольник $A_2B_2C_2$ получается описанными преобразованиями из треугольника $KLM$, образованного серединами сторон треугольника $ABC$. Поскольку $\triangle KLM \propto \triangle A_2B_2C_2$ и $\triangle KLM \propto \triangle ABC$, получаем $\triangle ABC \propto \triangle A_2B_2C_2$.
б) Четырехугольник из условия задачи получается преобразованием подобия из четырехугольника, образованного серединами сторон четырехугольника $ABCD$. Но середины любых сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
