Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3725
2019-06-16 
Дан треугольник $ABC$ площади 1. Пусть $A_1, B_1$ и $C_1$ - середины сторон $BC, CA$ и $AB$ соответственно. Какую минимальную площадь может иметь общая часть треугольников $A_1B_1C_1$ и $KLM$, если точки $K, L$ и $M$ лежат соответственно на отрезках $AB_1, CA_1$ и $BC_1$?
Решение:
$\frac{C_1M_2}{M_2M_1} \leq \frac{AK}{KC} \leq \frac{AB_1}{B_1C} = 1$,
то $C_1M_2 \leq M_2M_1$ и поэтому $S_{C_1M_2K_1} \leq S_{M_2M_1K_1}$. Так же доказывается, что $S_{AL_2M_1} \leq S_{L_2L_1M_1}$ и $S_{B_lK_2L_l} \leq S_{K_2K_1L_1}$.
Пусть $S$ - площадь общей части треугольников $KLM$ и $A_1B_1C_1$. Сложив полученные неравенства, получим
$S_{A_1B_1C_1} - S \leq S_{K_1M_2M_1} + S_{M_1L_2L_1} + S_{L_1K_2K_1} = S - S_{K_1M_1L_1} \leq S$
откуда $2S \geq S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{4}$, т. е. $S \geq \frac{1}{8}$. Если точка $M$ совпадает с $C_1$ точка $L$ - с $C$, а $K$ - с $A$, то $S = \frac{1}{8}$.
Ответ: 1/8. Поскольку (обозначения ясны из рис.)
Дан треугольник $ABC$ площади 1. Пусть $A_1, B_1$ и $C_1$ - середины сторон $BC, CA$ и $AB$ соответственно. Какую минимальную площадь может иметь общая часть треугольников $A_1B_1C_1$ и $KLM$, если точки $K, L$ и $M$ лежат соответственно на отрезках $AB_1, CA_1$ и $BC_1$?
Решение:
$\frac{C_1M_2}{M_2M_1} \leq \frac{AK}{KC} \leq \frac{AB_1}{B_1C} = 1$,
то $C_1M_2 \leq M_2M_1$ и поэтому $S_{C_1M_2K_1} \leq S_{M_2M_1K_1}$. Так же доказывается, что $S_{AL_2M_1} \leq S_{L_2L_1M_1}$ и $S_{B_lK_2L_l} \leq S_{K_2K_1L_1}$.
Пусть $S$ - площадь общей части треугольников $KLM$ и $A_1B_1C_1$. Сложив полученные неравенства, получим
$S_{A_1B_1C_1} - S \leq S_{K_1M_2M_1} + S_{M_1L_2L_1} + S_{L_1K_2K_1} = S - S_{K_1M_1L_1} \leq S$
откуда $2S \geq S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{4}$, т. е. $S \geq \frac{1}{8}$. Если точка $M$ совпадает с $C_1$ точка $L$ - с $C$, а $K$ - с $A$, то $S = \frac{1}{8}$.
Ответ: 1/8. Поскольку (обозначения ясны из рис.)
