ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-06-16   
На отрезке $0 \leq x \leq 1$ задана функция $f$. Известно, что эта функция неотрицательна и $f(1) = 1$. Кроме того, для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 \geq 0$, $x_2 \geq 0$ и $x_1 + x_2 \leq 1$, выполнено неравенство

$f(x_1 + x_2) \geq f(x_1) + f(x_2)$.

а) Докажите, что какова бы ни была функция $f$, удовлетворяющая перечисленным условиям, для всех $x$ будет выполнено неравенство $f(x) \leq 2x$.
б) Верно ли, что для всех $x$

$f(x) \leq 1,9x$?


Решение:


а) Функция $f$ монотонно не убывает на отрезке $(0, 1]$, поскольку из $1 \geq x \geq y \geq 0$ следует $f(x)= f((x - y) + y) \geq f(x-y) + f(y)$. Кроме того, $f(2x) \geq 2f(x)$ при всех $x$. Пользуясь этим, получаем:

при $\frac{1}{2} < x \leq 1 \: f(x) \leq f(1) \leq 2x$;
при $\frac{1}{4} < x \leq \frac{1}{2} \: f(x) \leq \frac{1}{2} f(2x) \leq \frac{1}{2} \leq 2x$;
$\cdots $
при $\frac{1}{2^{n+1}} < x < \frac{1}{2^n} \: f(x) \leq \frac{1}{2} f(2x) \leq \frac{1}{2^n} \leq 2x$,
$\cdots$,

а так как $f(0)= 0$, то $f(2x) \leq 2x$ при всех $x$.
б) Ответ: неверно.
Пример

$f(x) \begin{cases} 0, & при \: 0 \leq x \leq 1/2 \\ 1, & при \: 1/2 \leq x \leq 1 \end{cases}$.

Для этой функции выполнены все условия задачи, но

$f(0,51) = 1 > 1,9 \cdot 0,51 = 0,969$.