Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3723
2019-06-16 
Дан выпуклый многоугольник, в который нельзя поместить никакой треугольник площади 1. Докажите, что этот многоугольник можно поместить в треугольник площади 4.
Решение:
Рассмотрим множество вершин данного многоугольника $P$ и выберем три из них - $A, B, C$ - так, чтобы площадь треугольника $ABC$ была наибольшей. (Ясно, что площадь треугольника $ABC$ не меньше площади любого из треугольников, которые можно поместить в многоугольник $P$. Мы используем дальше частные случаи этого факта.)
Пусть $M$ - произвольная точка многоугольника $P$. Так как площадь треугольника $MBC$ не больше $\triangle ABC$, то $M$ лежит в полосе, ось симметрии которой - прямая $BC$, а ширина - удвоенная высота $\triangle ABC$, опущенная из вершины $A$. Проводя то же рассуждение для $\triangle MAB$ и $\triangle MCA$, получаем, что все точки многоугольника принадлежат пересечению трех построенных полос - треугольнику $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ (рис.), площадь которого равна $4S_{ABC} = 4$.
Подобное рассуждение уже встречалось в задаче 3604, где мы по существу установили, что $\triangle A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ - множество точек $M$, для которых все три площади $S_{MAB}, S_{MBC}, S_{MCA}$ не превосходя $S_{ABC}$.
Дан выпуклый многоугольник, в который нельзя поместить никакой треугольник площади 1. Докажите, что этот многоугольник можно поместить в треугольник площади 4.
Решение:
Рассмотрим множество вершин данного многоугольника $P$ и выберем три из них - $A, B, C$ - так, чтобы площадь треугольника $ABC$ была наибольшей. (Ясно, что площадь треугольника $ABC$ не меньше площади любого из треугольников, которые можно поместить в многоугольник $P$. Мы используем дальше частные случаи этого факта.)
Пусть $M$ - произвольная точка многоугольника $P$. Так как площадь треугольника $MBC$ не больше $\triangle ABC$, то $M$ лежит в полосе, ось симметрии которой - прямая $BC$, а ширина - удвоенная высота $\triangle ABC$, опущенная из вершины $A$. Проводя то же рассуждение для $\triangle MAB$ и $\triangle MCA$, получаем, что все точки многоугольника принадлежат пересечению трех построенных полос - треугольнику $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ (рис.), площадь которого равна $4S_{ABC} = 4$.
Подобное рассуждение уже встречалось в задаче 3604, где мы по существу установили, что $\triangle A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ - множество точек $M$, для которых все три площади $S_{MAB}, S_{MBC}, S_{MCA}$ не превосходя $S_{ABC}$.
